Kosinussatz bei Winkeln über 90°?

Moin Moin, ich habe Mal eine Frage zum Kosinussatz.

Grundlegend ist dieser ja:

a²=b²+c² - 2bc*Cos(Alpha)

Mit einem Minus getrennt.

Aber warum ist manchmal einfach ein + in der Gleichung?

Comments

[Kelec]

Schick am besten ein Beispiel wo girr ein + vorkommt, das hängt ziemlich sicher von der Aufgabe an sich ab

[raxxy42]

Etwas weiter unten, Beispiel 2

https://www.gut-erklaert.de/physik/kraefte-addieren-zerlegen-physik.html

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Die Schreibweise ist falsch.

$\vec{F}$ steht normalerweise für die Kraft mit Richtung und nicht nur den Betrag der Kraft. In dem Beispiel benutzen sie auch diese Schreibweise aber meinen nur den Betrag.

Für Kraftvektoren gilt immer

$\vec{F}_\text{res} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$

Davon kann man auf beiden Seiten die Beträge nehmen. Für den Betrag einer Summe von Vektoren gilt die folgende Rechenregel ähnlich zur ersten binomischen Formel:

$\vert \vec{F}_\text{res} \vert^2 = \vert \vec{F}_1+ \vec{F}_2 \vert^2 = \vert \vec{F}_1 \vert^2+ 2 \vec{F}_1 \cdot\vec{F}_2 + \vert \vec{F}_2 \vert^2$

Dabei ist

$\vec{F}_1 \cdot\vec{F}_2 = \cos \left(\alpha \right) \cdot \vert \vec{F}_1 \vert \cdot \vert \vec{F}_2 \vert$ das Skalarprodukt. Insgesamt erhält man den Cosinussatz.

Wenn beide Vektoren in die gleiche Richtung zeigen, erhält man cos(0°) = 1.
Wenn die Vektoren in die entgegengesetzte Richtung zeigen, erhält man cos(180°) = -1.

In der obigen Formel kann man in diesen Fällen bei dem mittleren Summanden jeweils die Beträge nehmen und im entgegengesetzten Fall hat man noch ein Minus davor.

Anschließend kann man die erste bzw. zweite binomische Formel anwenden und die Wurzel ziehen.

Wenn F₁ und F₂ die jeweiligen Beträge sind, bekommt man also:

F₁² + 2F₁F₂ + F₂² = (F₁ + F₂)² und F₁² - 2F₁F₂ + F₂² = (F₁ - F₂)².

Das Ergebnis nach dem Wurzelziehen ist also F₁ + F₂ bzw. F₁ - F₂.

Wenn die Kräfte nicht in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung gehen, ist der Cosinus eben was anderes, was man dann in die Formel reinsetzt. Im senkrechten Fall ist cos(90°) = 0 und der mittlere Summand fällt weg und übrig bleibt der Pythagoras.