Kompliziertes Mathe, Hilfe?
Ich hab eine große Hausaufgabe bekommen und ich verstehe sie null. Ich schreib sie einfach rein.
,,Gegeben ist eine reelle Zahl a in deren Dezimaldarstellung a=0,a1a2a3... jede Nachkommaziffer ai(i=1,2,3...) eine Primzahl ist. Die Nachlommaziffern werden entlang des in nebenstehender Abbildung durch Pfeile angedeuteten, nach rechts und nach unten unendlich fortgesetzt zu denkenden Weges angeordnet. Für jedes n>/= wird die dezimaldarstellung einer reellen Zahl zm gebildet, indem vor das Komma die Zifger 0 und nach den Komma die von links nach rechts gelesene Ziffernfolge der m-ten Zeile clb oben aus nebenstehenden Anordung geschrieben wird. In analoger Weise werden für alle n>/= 1 die reellen Zahleb sn mit den von oben nach unten zu lesenden Ziffern der n-ten Spalte von links gebildet."
So ist z.B z3=0,a5a6a7a12a23a28...
Zeige:
A= Wenn a rational ist, dann sind alls sm und alle sn rational.
B= die Umkehrung der in a formulierten Aussage ist falsch
Wie soll ich da ran gehen? Ich verstehe gar nichts. Was ist überhaupt m? Im ersten Teil. Wie soll ich sowas überhaupt beweisen?
"zu denkenden Weges angeordnet."?
Jep
2 Antworten
Das ist die 4. Aufgabe des aktuell laufenden Bundeswettbewerbs Mathematik.
Die Verpflichtung zur Selbstständigkeit gilt schon für die Phase der Lösungsfindung und nicht erst für die endgültige Formulierung. Diskussionen von Lösungswegen, insbesondere im Internet, sind nicht zulässig. Ein begründeter Verdacht auf Verstoß gegen die Selbstständigkeitsverpflichtung führt zum Ausschluss vom Wettbewerb
Also verdirb dir und anderen nicht den Spaß. Montag ist Einsendeschluss, danach kannst du gerne nochmal fragen.
Edit am 7.3.:
Ohne die Abbildung des erwähnten Weges ist die Aufgabe kaum zu verstehen:
Wenn du ernsthaft fragst "Was ist überhaupt m?" kann ich mir eigentlich nicht vorstellen, dass du das als Hausaufgabe bekommen hast.
Ich kann dir keine Lösung präsentieren, aber vielleicht ein paar Gedanken:
Mach dir mal ein paar Beispiele und versuche, das Problem zu verstehen.
- a=1/3, dann ist der gesamte Pfad mit Dreien ausgefüllt und jede Spalte und Zeile ist eine unendliche Folge von Dreien.
- a = 23/99, dann wechseln sich die Ziffern 2 und 3 ab. Wie sehen dann die Zeilen und Spalten aus? Was ist bei 23577532/99999999 ?
- a ist ein abbrechender Dezimalbruch, d.h. irgendwann kommen nur noch Nullen. Dann kommen auch in jeder Zeile und Spalte irgendwann nur noch Nullen unddie dargestellte Zahl sm bzw zn ist ebenfalls ein abbrechender Dezimalbruch
- jede rationale Zahl ist in der Dezimaldarstellung entweder abbrechend oder periodisch
- dass die vorkommenden Ziffern Primzahlen, also 2,3,5 oder 7 sein müssen, schränkt die Möglichkeiten ein
Letztlich musst du bei a) zeigen, dass eine periodische Ziffernfolge für die Nachkommastellen von a auch zu einer periodischen Ziffernfolge in allen Spalten und allen Zeilen führt
Bei b) musst du zeigen, dass eine aperiodische Ziffernfolge in mindestens einer Zeile oder Spalte nicht heißen muss, dass a ebenfalls nicht periodisch ist. Da reicht ein Gegenbeispiel.
Nach meiner Erfahrung macht man die Bundeswettbewerbsaufgaben nicht mal eben so nach kurzem Nachdenken. Nicht umsonst hat man acht Wochen Zeit von der Veröffentlichung bis zum Einsendeschluss.
Oft - aber leider nicht immer - kommt eine plötzliche Erleuchtung. Oft wenn man sich vor dem Schlafengehen noch intensiv mit dem Problem auseinander gesetzt hat und im Schlaf weiter verarbeitet. Dann ist morgens auf einmal alles klar. Mit Pech hat man es aber mittags schon wieder vergessen, wenn man es nicht gleich aufgeschrieben hat.
1 2 9 10 25 26 49 50 81 82 121 122 169 170
4 3 8 11 24 27 48 51 80 83 120 123 168 171
5 6 7 12 23 28 47 52 79 84 119 124 167 172
16 15 14 13 22 29 46 53 78 85 118 125 166 173
17 18 19 20 21 30 45 54 77 86 117 126 165 174
36 35 34 33 32 31 44 55 76 87 116 127 164 175
37 38 39 40 41 42 43 56 75 88 115 128 163 176
64 63 62 61 60 59 58 57 74 89 114 129 162 177
65 66 67 68 69 70 71 72 73 90 113 130 161 178
100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 112 131 160 179
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 132 159 180
144 143 142 141 140 139 138 137 136 135 134 133 158 181
145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 182
196 195 194 193 192 191 190 189 188 187 186 185 184 183
Vielleicht fällt dir ein Muster auf, wie die Zahlen angeordnet sind. Guck dir mal jede zweite Zahl am linken und oberen Rand an.
Vielleicht hilft https://oeis.org/A081344
Zur 4a habe ich einen Lösungsansatz. Wenn Alpha eine rationale Zahl ist, dann ist Alpha ab einer bestimmten Stelle hinter dem Komma periondisch mit der Periodenlänge p.
(Was das mit den Primzahlen soll, ist mir unklar.)
Hier erstmal die Matrix der Indizes der Ziffern hinter dem Komma.
(0) (1) (2) (3)
1 2 9 10 25 26 49 50
(0) 4 3 8 11 24 27 48 51
5 6 7 12 23 28 47 52
(1) 16 15 14 13 22 29 46 53
17 18 19 20 21 30 45 54
(2) 36 35 34 33 32 31 44 55
37 38 39 40 41 42 43 56
(3) 64 63 62 61 60 59 58 57
Jede Zeile und jede Spalte ist ab einer bestimmten Stelle periodisch modulo m = 2*p.
Um das zu beweisen, betrachten wir die Indizes y in der ersten Zeile der Matrix, und zwar nur in den ungeradzahligen Spalten, wo ich in Klammern eine Spaltennummer x angegeben habe.
Es gilt y(x) = 4x² + 4x + 1. (Das müsste man auch noch beweisen, kann aber nicht weiter schwierig sein.)
Es ist leicht einzusehen, dass y(x) kongruent zu y(x+m) modulo m ist.
Die Zahl z_1 baut man durch Auswahl der in der Zeile angegebenen Nochkommastellen von Alpha auf. Da sowohl die Indizes als auch die Ziffern selbst periodisch sind, ist auch z_1 ab einer bestimmten Stelle periodisch und also rational.
Geht man jetzt in der Matrix weiter nach unten, "vererbt" sich (ab einer bestimmten Spalte) die Periodizität.
Für die Spalten funktioniert das genauso, hier gilt y = 4x² + 8x + 4.
Also ich weiß nicht ob man das bis gestern oder bis heute abschicken sollte deswegen wäre es lieb wenn du mir helfen könntest da ich es für meine Hausaufgabe brauche. Ist auch okey wenn du es morgen machst um sicher zu gehen. Brauche es aber bis Mittwoch.