Komplexe Zahlen: Wie viele Werte kann dieser Ausdruck annehmen?
Herzliches Grüß Gott meinerseits!
Frage: Wie viele verschiedene Werte kann dieser Ausdruck für n aus natürlichen Zahlenraum annehmen?
Lösung habe ich sollten glaube ich 8 verschiedene Werte sein, habe aber leider keine Ahnung wie man darauf kommt.
Danke vielmals für die Antworten!
4 Antworten
Hallo,
was passiert denn mit einer komplexen Zahl, die potenziert wird?
Eine komplexe Zahl läßt sich als Punkt in der komplexen Zahlenebene darstellen.
Der Zeiger, der vom Nullpunkt zu dieser Zahl führt, hat eine bestimmte Länge.
Für die komplexe Zahl a+bi beträgt diese Länge nach dem Satz des Pythagoras
Wurzel (a²+b²).
Außerdem hat der Zeiger einen bestimmten Winkel zur reellen (waagerechten) Achse, der sich nach der Formel phi=arcsin (b/|a+bi| berechnen läßt, indem man also die Größe des imaginären Anteils der Zahl durch die Länge des Zeigers teilt und das Ergebnis als Argument des Arkussinus einsetzt.
Beim Potenzieren nun wird die Länge des Zeigers potenziert und der Winkel mit dem Grad der Potenz multipliziert.
Nun liegt die komplexe Zahl, die Du untersuchen sollst, genau eine Einheit vom Ursprung weg. An der Länge des Zeiger ändert sich also durch das Potenzieren nichts, denn 1^n=1.
Der Zeiger nimmt einen Winkel von 45° ein, denn da der reelle Anteil genauso groß ist wie der imaginäre, liegt die Zahl auf der Geraden y=x, die eine Steigung von 1 besitzt und damit einen Winkel von 45° zu waagerechten Achse einnimmt.
Quadrierst Du also Deine komplexe Zahl, bleibt ihr Betrag von 1 gleich, während sich der Winkel verdoppelt. Du kannst nun 45° so lange mit aufsteigenden n von 1 an aufwärts multiplizieren, bis Du wieder am Ausgangsort angelangt bist, denn nach 360° beginnt der Kreis von neuem.
360°=8*45°.
9*45°=405° und das ist der gleiche Winkel wie 45°.
Deine Zahl hoch 9 ist also nichts anderes als Deine Zahl hoch 1.
Hoch 10= hoch 2 usw.
Du bekommst also unterschiedliche Werte nur für n=1 bis n=8, also nur acht.
Danach fängt alles wieder von vorn an.
Das funktioniert hier aber nur, weil 45° ein Teiler von 360° ist und weil der Betrag der Zahl genau 1 ist, so daß sich das Potenzieren hier in keiner Weise auswirkt.
Herzliche Grüße,
Willy
Der Winkel muß nicht mal ein Teiler von 360° sein. Es reicht, wenn Du durch irgendeine Multiplikation auf ein ganzzahliges Vielfaches von 360° kommst.
Tipp: für Potenzausdrücke komplexer Zahlen ist die "Polarform" meistens übersichtlicher:
z = r e^(i phi)
mit r ("Radius") = "Betrag" der komplexen Zahl z
und phi (Winkel ab positiver reeller Achse im mathematisch positiven Drehsinn) = "Argument" der komplexen Zahl z
In der Polardarstellung lassen sich Potenzen leicht angeben:
z^n = r^n e^(i n phi)
Wenn r ungleich 1 ist, ist das Ergebnis sowieso "unendlich viele". Wenn r=1 ist, ist das Ergebnis die kleinste Zahl n0, für die n phi ein ganzzahliges Vielfaches von 2 pi, dem Vollkreiswinkel, ist - genau dann ist z^n=1.
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Auch bei der Multiplikation hat die Polardarstellung Vorteile:
z1 • z2 = (r1 e^(i phi1)) • (r2 e^(i phi2))
= (r1 r2) • e^(i(phi1 + phi2))
Alternative zum Vorschlag von MagicalGrill: Schreibe die Zahl in Polarkoordinaten z=r*exp(iф) um. Falls r ungleich 1 ist, weißt du schon mal, dass es unendlich viele verschiedene Potenzen gibt. Falls r=1 ist und 2pi/ф eine ganze Zahl ist, werden sich die Potenzen irgendwann wiederholen, es gibt dann 2pi/ф verschiedene Potenzen. Falls r=1 ist und 2pi/ф eine irrationale Zahl ist, gibt es auch wieder unendlich viele verschiedene Potenzen. Falls r=1 und 2pi/ф rational aber nicht ganz ist, dann lässt es sich als vollständig gekürzten Bruch p/q schreiben und es gibt dann, wenn mich nicht alles täuscht, p verschiedene Potenzen.
Rechne einfach die Werte für n = 0, n = 1, n = 2, usw alle aus. Und wenn sich irgendwann ein Wert wiederholt, kannst du aufhören und die unterschiedlichen Werte zählen.
q verschiedene