Komplexe Zahlen Aufgabe?

Hallo ich nochmal, mit der selben Aufgabe von vorhin. Es geht darum, für A und B die Zahlen herauszufinden. alles schön und gut. der letzte Schritt beim Koeffizientenvergleich wirft bei mir viele fragen auf. dort steht: 2A - 1 = 1/i wie ist das denn möglich? und wie soll da zum schluss -i rauskommen... ich dachte di glecihung für z0 sei: A-B= 1 oder?

Answer 1

[Slevi89]

Nein du hast folgenden Vergleich, wie schon abgebildet

$z\ +\ 1\ =\ \left(A+B\right)z\ +\ \left(A-B\right)\cdot i$

Das heißt

$\left(A+B\right)\ \ =\ 1\ \ und\ \ \left(A-B\right)\ =\ -i\$

Letzteres muss gelten, da

$-i\ \cdot\ i\ =\ 1\$ ist.

Der Rest ist einfach nur Umformen und in-einander einsetzen.

$A+B\ =\ 1\ \ \text{ => }\ B\ =\ 1-\ A$

Letzteres kannst du einfach wieder in den zweiten Vergleich einsetzen

$A\ -\ B\ =\ A\ -\left(\ 1\ -A\right)\ =\ 2A\ -\ 1\$

d.h.

$A-B\ =\ -\ i\ \ =>\ 2A-1\ =\ -i\ \ =>\ A\ =\ \frac{1}{2}\left(1-i\right)$

Und warum ist $-i\ =\ \frac{1}{i}$ kannst du dir eigentlich selbst herleiten.

$-i\ =\ -i\cdot\ \frac{i}{i}\ =\ \frac{1}{i}$ Das ist eine einfache Umformung die man häufig im komplexen macht. Diese Umformung macht hier nichts und dient keinem Zweck außer zu zeigen das es das Gleiche ist

Comments

[leachen111]

bin ich dumm oder wieso verstehe ich nicht wo am anfang -i herkommt... ich seh da nur ein +i, kein -i

[Slevi89]

@leachen111

Dann hast du den Koeffizientenvergleich nicht verstanden. Nimm meine erste Gleichung oben im Text. Du hast die GLEICHUNG z+1 = (A+B)z + (A-B)*i .

Damit die Gleichung stimmt, muss A+B = 1 gelten, da z als Koeffizient die "unsichtbare *1 hat". Damit die Gleichung weiterhin stimmt muss also gelten
1 = (A-B)*i

Hier gibt es den Koeffizienten an sich nicht, das heiß die Gleichung steht erstmal dort wie sie steht. i ist aber keine Variable und du solltest wissen, dass i * i = -1 gilt

Damit die Gleichung also stimmt muss gelten, das A-B = -i ist, denn dann hast du
-i * i = +1