Ist diese Herleitung korrekt?
Hallo!
Ich lerne gerade, die Quaternionen in die Polarform zu bringen. Also ich meine die Form:
Und nicht irgendeine andere. Ich habe nämlich oft andere Polarformen bekommen(Also z.B. A ∈ R und B ∈ Q). Ich habe mir mal versucht, diese Herzuleiten, ich bin mir aber nicht sicher, ob die Herleitung so richtig ist:
Quaternionen sind ein vierdimensionaler reeller Vektorraum. Aber auch ein zweidimensionaler Komplexer Vektorraum. Komplexe Zahlen kann man ganz leicht in die Polarform bringen, indem man sich den Winkel und den Radius anguckt. Wenn ich Quaternionen mal in dem Koordinatensystem darstelle, mit den Achsen x und y, aber x und y sind keine reellen Zahlen, sondern komplexe Zahlen und die Achse y wird mit j multipliziert und nicht mit i. Wenn ich jetzt mal den Punkt (x | y) markiere, ist das Quaternion x+yj. Und jetzt wende ich die Polarform der komplexen Zahlen auf die Quaternionen an: (a+bi)+(c+di)j = x+yj = sqrt(x²+y²)*e^(tan^-1(y/x)*j)
Ich denke nicht, dass das richtig ist, da wenn man bedenkt, dass die Quaternionen bezüglich der Multiplikation nicht kommutativ sind, und man bei den komplexen Zahlen die Winkel addieren kann, aber bei den Quaternionen dann wahrscheinlich nicht, das keinen Sinn macht. Aber lieber fragen als mich Monate lang mit dieser Frage zu quälen.
Wenn das nicht richtig ist habe ich noch eine Frage: Wie bringe ich Quaternionen in diese Polarform?
Vielen Dank!
1 Antwort
Nope.
GrundDivision durch 0 ist nicht definiert
Sie weist zahlreiche Lücken, wie das Problem des Spezialfalls x=a+bi=0 => sqrt(x² + y²) * e^(tan^-1(y/0)*j) auf, was nicht definiert ist. Das ist ja aber nur eine Kleinigkeit, also kann es als ein Spezialfall definiert werden, also ignoriere ich das einfach mal.
Reeller Exponent von e => kann nicht wahr sein für degenerierte Fälle
Ein anderes Problem ist, dass y/x nicht-reell sein kann, somit arctan(y/x) selbst auch nicht-reell sein muss und somit das j im Exponenten wegkürzen kann, womit wir einfach nur ein Quaternion mal eine Exponentialfunktion von reellen Zahlen haben, was wohl kaum stimmt, da somit die Eulersche Formel nicht mehr gilt. Worte sind nett, doch das ganze kann ich auch einmal vormachen:
Den Code habe ich vergessen zu kopieren bevor ich es gelöscht habe, aber den kann man sowieso schnell nachschreiben.
Anti-Kommutativität von Quaternionen widersprechen Exponenten von e
Ein noch trivialeres Problem erhalten wir, wenn wir nur den Exponenten von e anschauen, in welchen ein rein-imaginäres Quaternion durch eine komplexe nicht unbedingt reelle Zahl dividiert aka mit der der komplexen Zahl x^-1 multipliziert wird, doch Quaternionen sind bezüglich der Multiplikation nicht kommutativ, was ein Problem ist, da beim Dividieren nicht angegeben wird, ob x^-1 rechts- oder links-multipliziert wird, wodurch der gesamte Ausdruck für jedes nicht-komplex Quaternion (y ≠ 0) mit b ≠ 0 nicht definiert ist, also die Formel für nur sehr wenige Quaternionen gelten kann!
...
Ein weiteres Problem ist, dass die Polarform Polarform heißt, da in ihr die Polarkoordinaten der Zahlen in Punktpräsentation abgelesen werden können, aka der Winkel / das Argument und der Betrag, doch bei deiner Formel ist weder der Betrag noch das Argument / die Argumente abzulesen...
...
Korrekte PolarformEine Polarform wie du sie suchst ist im eigentlichen Sinne keine Polarform und ich weiß nicht mal ob man so eine Formel für irgendwas nützlich benutzen könnte, aber das ignoriere ich einmal. Du hast dein A ja schon genau bestimmt und dir fehlt nur noch das B. Lass und doch einfach mal nach B umstellen, denn es ist ja nur eine Gleichung:
Code:
Da Quaternionen bezüglich der Multiplikation Anti-Kommutativ sind, lass uns einmal die Notation für die Äquivalenzumstellung per Multiplikation bei Anti-Kommutativen Algebren definieren (schöne lange Wörter):
Sagen wir $\mid *q$ (auch oft genutzt sind $\mid \cdot q$ und $\mid \cdot_{R}~ q$ ("R" für left)) die Rechts-Multiplikation impliziert und $\mid q*$ (auch oft genutzt sind $\mid q \cdot$ und $\mid \cdot_{L}~ q$ ("L" für left)) die Links-Multiplikation impliziert.
$$
\begin{align*}
a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k &= \underbrace{\sqrt{\left( a + b \cdot i \right)^{2} + \left( c \cdot j + d \cdot k \right)^{2}}}_{A} \cdot e^{B \cdot j}\\
a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k &= A \cdot e^{B \cdot j} \quad\mid\quad A^{-1}*\\
A^{-1} \cdot \left( a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k \right) &= A^{-1} \cdot A \cdot e^{B \cdot j}\\
A^{-1} \cdot \left( a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k \right) &= 1 \cdot e^{B \cdot j}\\
A^{-1} \cdot \left( a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k \right) &= e^{B \cdot j} \quad\mid\quad \ln\left( \cdot \right)\\
\ln\left( A^{-1} \cdot \left( a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k \right) \right) &= \ln\left( e^{B \cdot j} \right)\\
\ln\left( A^{-1} \cdot \left( a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k \right) \right) &= B \cdot j \quad\mid\quad *j^{-1}\, \text{oder}\, *\left( -j \right)\\
\ln\left( A^{-1} \cdot \left( a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k \right) \right) \cdot j^{-1} &= B \cdot j \cdot j^{-1}\\
\ln\left( A^{-1} \cdot \left( a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k \right) \right) \cdot \left( -j \right) &= B \cdot 1\\
-\ln\left( A^{-1} \cdot \left( a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k \right) \right) \cdot j &= B\\
\end{align*}\\
$$
$$\fbox{
$a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k = \sqrt{\left( a + b \cdot i \right)^{2} + \left( c \cdot j + d \cdot k \right)^{2}} \cdot e^{-\ln\left( \left( \left( a + b \cdot i \right)^{2} + \left( c \cdot j + d \cdot k \right)^{2} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( a + b \cdot i + c \cdot j + d \cdot k \right) \right) \cdot j \cdot j}$
}$$
Vielen Dank!
Ich suche schon nach Ewigkeiten nach dieser Form, finde sie aber nirgends.
Danke!
PS: Man erkennt leicht, dass sich das -j und j gegenseitig aufheben und 1 ergeben, dann sich auch exp(ln(...)) sich gegenseitig aufheben, aber wen interessierts...