Komplexe Zahlen Aufgabe?

Hallo,

ich hänge an einer Aufgabe und verstehe nicht ganz wie ich da vorgehen soll. Aufgabe: Berechne $\frac{\left(\sqrt{3}+i\right)^{15}}{\left(1-i\right)°22}$ (soll ein hoch 22 sein)

Ich habe Online sachen mit arctan/arccos/arcsin gefunden, aber verstehe nicht so ganz wie man an diese Aufgabe damit rangeht.

Vielen dank schonmal im Voraus!

Answer 1

[LORDderANALYSE]

Man zieht die Wurzel aus einer komplexen Zahl, indem man die komplexe Zahl in die Polarform schreibt, die Wurzel in eine Potenz umschreibt (siehe Wurzelgesetze) und dann die Potenzen zusammenfasst.

Die Polarform einer komplexen Zahl z sieht so aus:

$z=\left|z\right|\cdot e^{\arg\left(z\right)}$

Dabei bezeihnet arg(z) das Argument der komplexen Zahel x.
Stelle wir die komplexe Zahl als Versor (sowas ähnliches wie ein Vektor) da, so ist der Winkel des Versors z das Argument von z.

mit z = a + b * i, |z| = sqrt(a² + b²), arg(z) = aqrgtan(b, a) und a = Realteil(z) = Re(z), b = Zmaginärteil(z) = Im(z) folgt:

$z=\sqrt{Re\left(z\right)^2+Im\left(z\right)^2}\cdot e^{\arctan2\left(Re\left(z\right),\ Im\left(z\right)\right)}$

Um diesen Arcustangens2 zu berechnen nutzen wir den Arcussinus, Arcuscosinus, Arcussekans, Arcuscosekans, Arcustangens und/oder Arcuscotangens.

Wenn wir nämlich den Versor zeichnen:

Wir sehen, dass sich ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Die Länge des Versors ist der Betrag des Versors, also |z|, und die beiden Katheten sind der Imaginär- und Real-Teil.
Der Winkel von der Realen-Achse zum Vesor ist der das Argument von z.
Und da es sich hier um rein rechtwinkliges Dreieck handelt nutzen wir um den Winkel zu berechnen die Winkelfunktionen, Sinus, Kosinus, ... Damit wir den Winkel erhalten nutzen wir deren Arkusfunktionen.

Wir können also jetzt einfach den Winkel berechnen. Diesen geben wir aber in rad an!

https://de-academic.com/dic.nsf/dewiki/786656#Polarform

Noch fragen?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium

Comments

[LORDderANALYSE]

Ich stehe natürlich auch bei Fragen zur hyperkomplexen - nicht nur komlexen - Algebra zur Verfügung.^^

Answer 2

[Maxi170703]

Schreib beide als e-Funktion, das macht es deutlich leichter.

Der Zähler ist 2^15*e^(i*5*pi/2)

Der Nenner ist 2^11*e^(-i*3*pi/2) Hier wurde die 2 Pi Periodizität des Sinus und Kosinus ausgenutzt

Übrig bleibt also 16*e^0 = 16 (in diesem Schritt einfach die Potenzregeln anwenden für gleiche Basis, außerdem wieder die 2 Pi Periodizität)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Maschinenbaustudent, RWTH Aachen

Answer 3

[Halswirbelstrom]

LG H.

Comments

[Maxi170703]

Irgendwo ist da ein Fehler

Ah, im Zähler ist der Betrag 2^15, nicht sqrt(2)^15

[Halswirbelstrom]

@Maxi170703

Ich habe irrtümlicherweise bei der Berechnung des Betrages in der Eile zweimal die Wurzel gezogen. Danke für deine Berichtigung.

LG H.