Kartesische Form in Exponentialform umwandeln?
Hallo,
ich bin gerade stark am verzweifeln und zwar habe ich in meiner Matheaufgabe das Problem, dass ich die Komplexe Zahl -0,51 - j3,2 in die Exponentialform umwandeln muss, rechnerisch komme ich mit 3,24 * e^260° raus aber für die richtige Endlösung müssten es eigentlich -100° sein.
Ich verstehe nicht ganz wie ich bei den Vorzeichen der Komponenten umrechnen muss um auf den richtigen Quadranten zu landen.
Hier nochmal die ganze Aufgabe:
Gegeben sind die komplexen Zahlen:
z1 = 2,5 ⋅ e^j60°, z2 = 6 ⋅ e^j105°, z3 = 2 ⋅ e^−j80°, z4 = 1,5 ⋅ e^j55°
Berechnen Sie √ ((𝑧1 ⋅ 𝑧2) / (𝑧3 −𝑧4)) in Exponential- und Komponentenform!
2 Antworten
Regel für die Wahl des richtigen Quadranten :
arg(Re + i*Im) = arctan(Im/Re) | Re > 0
arg(Re + i*Im) = arctan(Im/Re) + π | Re < 0, Im >= 0
arg(Re + i*Im) = arctan(Im/Re) - π | Re < 0, Im < 0
arg(Re + i*Im) = +π/2 | Re = 0, Im > 0
arg(Re + i*Im) = -π/2 | Re = 0, Im < 0
arg(Re + i*Im) = undef | Re = 0, Im = 0
Daraus folgt:
arg(-0.51 - i*3.2) = arctan (3.2/0.51) - π= -99.0554...°
Auf diesen Winkel kann man 360° Grad addieren, dann ergibt sich
arg(-0.51 - i*3.2) = 260.9446...°
arctan (3.2/0.51) - π = -1.728842... (Bogenmaß)
(arctan (3.2/0.51) - π)*180/π = -99.0554° (Grad)
Ich kann zwischen -100° und 260° keinerlei Unterschied erkennen: -100° + 360° = 260° und da der Winkel φ nur auf 2π eindeutig ist, ist das eher eine Frage der Vereinbarung. Hier ein Auszug einem Skript von F. Embacher, Fakultät für Mathematik der Universität Wien, in dem dieser Punkt den Winkel φ betreffend mal zu Papier gebracht ist:
Verstehe ich richtig:
Du bekommst 260° raus, in der Lösung steht -100° und hast nun ein Problem, dass die Lösung nicht passt, obwohl der Text und ich Dir sagen, dass das dasselbe ist, (und bitte lass das Wort Endlösung, das ist echt verbrannt).
Wenn ich das richtig wiedergebe, dann hast Du ein unlösbares Problem, weil nicht existent.
Nein ich meine damit die Aufgabenstellung die ich zusätzlich hinzugefügt habe :). Die 260° sind nur im Nenner von der "Endlösung" (Gott verzeihe).
Wie bist du auf -99° gekommen?