Wie kann man eine Komplexe Zahl in Exponentialform in die kartesische Form umwandeln?
Moin Moin,
wie kann ich
in die Form
umwandeln?
Anmerkung: gemeint ist i mal n mal π bzw. 2 mal k mal π alles Teil des Exponenten.
4 Antworten
Hallo hasesh,
eigentlich ist die Umrechnung von der Exponentialform einer Komplexen Zahl in deren kartesische Form einfacher als umgekehrt. Grundlage ist die…
…EULER-Formel
die sich über die Potenzreihendarstellungen der Exponentialfunktion, des Sinus und des Cosinus motivieren lässt:
Die geraden Terme sind reell und bilden den Cosinus, die ungeraden imaginär und bilden den Sinus. Sie kehren ihr Vorzeichen um, wenn man i durch –i ersetzt, die anderen nicht.
Allgemeine Komplexe ZahlDurch so eine Zahl, multipliziert mit einem reellen Faktor r≥0, lässt sich jede beliebige Komplexe Zahl ausdrücken, also
es ist also
(2.2) x = r·cos(φ)
(2.3) y = r·sin(φ).
Übrigens lässt sich z mit
auch als reine Exponentialfunktion ohne Vorfaktor formulieren, als
formulieren.
Betrag einer Komplexen ZahlFasst man x+iy∈ℂ als Vektor (x; y)∈ℝ² auf, ist nach dem Satz des PYTHAGORAS
(3.1) x² + y² = r²
und r ist der Betrag dieses Vektors. Dies ergibt sich allerdings auch, wenn man z mit seinem Komplex Konjugierten
z* = x – i·y
multipliziert, denn dann fallen nach der 3. Binomischen Formel die Mischterme raus und wir erhalten wieder die positive Reelle Zahl
(3.2) zz* = (x + iy)(x – iy) = x² – i²y² = x² + y² = r².
PhaseAus (2.2-3) geht hervor, dass
tan(φ) = y/x
ist, vorausgesetzt, x≠0. Deshalb und weil
(–y)/(–x) ≡ y/x
(–y)/x ≡ y/(–x)
ist, muss man hier eine Fallunterscheidung vornehmen, etwa
(4.1) x>0, y>0: φ = arctan(y/x)
(4.2) x=0: φ = sign(y)·π/2
(4.3) x<0: φ = π·sign(y) + arctan(y/x).
In kartesischer Darstellung lassen sich Komplexe Zahlen besser addieren und subtrahieren, in Exponentialdarstellung leichter multiplizieren, dividieren, potenzieren etc.: Die Beträge zweier Komplexer Zahlen multiplizieren bzw. potenzieren sich wie gewöhnlich, die Phasenfaktoren addieren bzw. multiplizieren sich.
PeriodizitätEin Faktor e^{inπ} - oder ein Summand inπ im Exponenten, was auf dasselbe hinausläuft - ist dasselbe wie ein Faktor (–1)ⁿ, d.h., wenn n gerade ist, gibt es keine Veränderung.
Dein BeispielFalls in Deinem Beispiel n eine Ganze Zahl sein sollte, kann
nur eine Reelle Zahl sein, bei geradem n auch nur eine positive. Ist k auch eine Ganze Zahl, so handelt es sich beim Betrag um eine ganzzahlige Potenz von e^{2π}≈535,5.
Hallo,
es gilt:
a*e^(i*n*π)=a*(cos (nπ)+i*sin (nπ))
Du hast e^(i*nπ+2kπ), was nach den Potenzgesetzen das Gleiche ist wie
e^(i*nπ)*e^(2kπ)
e^(2kπ) ist eine Konstante, entspricht also dem Vorfaktor a aus der allgemeinen Formel.
So kommst Du auf e^(2kπ)*(cos (nπ)+i*sin (nπ))
Umrechnen in z=a+bi:
a=e^(2kπ)*cos (nπ)
b=e^(2kπ)*sin (nπ)
Herzliche Grüße,
Willy
Am einfachsten durch die Eulersche Formel. exp(ix)=cos(x)+i(sinx).
=> exp(i(n*pi+2k*pi))=cos((n+2k)*Pi) + i*sin((n+2k)*Pi)
Der Rest sollte offensichtlich sein.
Hab pii statt pi gelesen. Dann einfach e^(2k*Pi) als eigenen Faktor rausziehen.
über die Eulersche Formel:
Da fragt man sich nur, woher du das n im zweiten Summanden nimmst??