Kann mir wer erklären, wie ich die Lösungsmenge ausrechne?
Hallo,
oben sieht man die Aufgabe mit der ich mich gerade rumschlage und ich würde mich darüber freuen, wenn mir jemand erklärt was genau eine Lösungsmenge ist und wie man sie berechnet. Zuerst habe ich überlegt alles auf eine Seite zu bringen und dann ganz normal mit der pq-Formel die Nullstellen auszurechnen und diese dann hinter dem L in die Klammer zu schreiben, aber da in der Aufgabenstellung etwas von unendlich steht und die 2 Aufgabe (die mit =>) 2 unterschiedliche Lösungsmengen sucht, bin ich jetzt etwas verwirrt. Bitte keine Lösungen sondern nur Hilfestellungen. Bei beiden Aufgaben kommen für die Nullstellen -1 und -5 raus.
Mit freundlichen Grüßen :)
4 Antworten
was genau eine Lösungsmenge
Bei "normalen" und einfachen Gleichungen erhält man meistens eine konkrete Lösung. Bei Nullstellen von Funktionen erhält man eventuelle mehrere diskrete Lösungen, auch da spricht man dann schon von Lösungsmenge. Diskret bedeutet, es ist ein konkreter Wert. Das Gegenteil wäre ein Kontinuum, also ein ganzer Bereich von Werten mit sämtlichen Zwischenwerten. Wenn es keine Einzellösung(en) mehr gibt, sondern ganze Bereiche, die (unendlich) viele Lösungen ergeben, dann spricht man ebenfalls von einer Lösungsmenge.
Zuerst habe ich überlegt alles auf eine Seite zu bringen
Bei Ungleichungen kann man dieselben Operationen anwenden, wie bei Gleichungen. Man muss bloß aufpassen, dass bei einer Mulitplikation mit einem negativen Wert sich das Ungleichheitszeichen umdreht.
Die Grenzen von Bereichen, wenn sich zwei Funktionen schneiden, werden durch die jeweiligen Schnittpunkte bestimmt.
Also konkret:
14 + 13x ≥ -2x^2 + x +4
Sortieren:
-4:
10 + 13x ≥ -2x^2 + x
-x:
10 + 12x ≥ -2x^2
+ 2x^2:
2x^2 + 12x + 10 ≥ 0
/2:
x^2 + 6x + 5 ≥ 0
Nullstellen berechnen für x^2 + 6x + 5 = 0
Die Funktion hat also 2 Schnittpunkte. Nun könnte man dazwischen einen Wert einsetzen, um festzustellen ob in diesem Bereich 14 + 13x größer oder kleiner als -2x^2 + x +4 ist. Ich habe das grafisch gelöst:
Jedenfalls stelle ich als erstes fest, dass das erste angegebene Intervall in der Aufgabe falsch ist, das müsste heißen:
𝕃 = (-1; ∞)
Und insgesamt kommt raus:
𝕃 = (-1; ∞) ∪ (-∞; -5)
b) 14 + 13x + 2a ≤ -2x^2 + x +4
aus dem obigen Grafen sehen wir, es gibt genau eine Lösung und die ist dann = und nicht ≤ , wenn 14 + 13x + 2a die Tangente an -2x^2 + x +4 ist.
Also leiten wir -2x^2 + x +4 ab und suchen die Stelle, an der f'(x) = der Steigung von 14 + 13x ist, also 13 beträgt:
f'(x) = -4x +1 = 13
-4x = 12
x = -3
und ermitteln zuerst f(-3):
f(-3) = -2(-3)^2 -3 +4 = -18 - 3 + 4 = -17
Nun können wir in die Gerade x und y einsetzen und haben dann nur noch a als Variable, nach der wir auflösen können:
-17 = 14 + 13(-3) + 2a
2a = -17 - 14 + 39 = 8
a = 4
Also: 𝕃 = {4}
und so sieht das als Graph aus:
Logisch:
4 > 2
* -1:
- 4 ?? -2
Muss dann ein < werden, da die Richtung auf dem Zahlenstrahl umgekehrt wird.
erste:
mit -1
-2 < -2 + 2 - 2 = -2
mit -2
-12 < -8 + 4 - 2 = -6
entweder es soll heißen
<=
oder es muß eine runde Klammer hin !
Was genau ist eine Lösungsmenge ?
In diese {} Klammer kommt alles an Zahlen oder Intervallen , was die Glq zu einer wahren Aussage macht
Bei einer normalen quadratischen Gleichung
wie x² - 1 ist L = { +1 , -1 }
Bei einer Ungleichung wie
x + 3 > 7
x > 4
heißt L
{ alle x für die gilt : x > 4}
oder als Intervall ( 4 ; + unend (
14 + 13x + 2a <= -2x² + x + 4
durch -2 und sortieren (Vorzeichen kehrt sich um)
0 >= x² + 6x + 5 + a
mit pq formel gilt
x1 2 = 3 +- wurz(9 - ( 5+a ) )
damit nur eine Lösung da ist , muß
5+a = 9 sein !
a = 4
OHA , es passt ..............einzige Lösung ist nun -3
(laut Wolfram)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=14+%2B+13x+%2B+2*4++%3C%3D+-2x%C2%B2+%2B+x+%2B+4+
Das mit den Nullstellen hast du zunächst richtig gemacht. Allerdings berechnest du da ja, wo die beiden Funktionsgraphen sich schneiden, also gleich (=) sind. Jetzt hast du in Aufgabe c1) aber kein gleich (=) sonder ein kleiner (<). Also willst du alle x-Werte wissen für die 8+10x kleiner ist als -2x^2-2x-2. Sie dir die nachfolgende Grafik an, dann wird es dir klarer.
Die Gerade 8+10x verläuft ja nur im Bereich von x=-5 bis x=-1 unterhalb der Parabel.
Also ist die Lösungsmenge (-1;-5)? Das hatte ich zuerst stehen, aber war mir unsicher
Nein, die Lösungsmenge ist nun ein Intervall, nämlich von ]-5;-1[, also alle x-Werte zwischen -5 und -1, wobei du die -5 und die -1 ausschließen musst, denn dort sind die Funktionswerte ja gleich und nicht kleiner.
Ich sehe gerad3e, für den Ausschluss einer Zahl verwendet das Programm die (-Klammer und nicht die ]-Klammer. Dein Intervall ist also (-5;-1).
Beim ersten Beispiel verstehe ich nicht,
warum -1 da eingeschlossen ist. Da steht dann -2 < -2
Ja okay das sehe ich jetzt auch, das kann ja garnicht stimmen.
Vielen vielen Dank, dass erklärt gerade einiges. Allein das sich das Zeichen dann umdreht erklärt viel. Hat mir echt weiter geholfen.