Kann mir mal jemand erklären wie man auf e hoch ln(x) =x kommt?

5 Antworten

Der ln(x) ist die Umkehrfunktion zu e^x.

Also gilt: ln(e^x) = e^(ln(x)) = x.

Formal gesagt gilt: f(f⁻¹(x)) = f⁻¹(f(x)) = x

Und f(x) = e^x f⁻¹(x) = ln(x).

Das ganze kannst du dir mit der Funktion g(x) = x² und g⁻¹(x) = √x 
(wir vernachlässigen jetzt mal die Probleme mit dem Definitionsbereich, das ganze dient nur der Veranschaulichung)

g(g⁻¹(x)) = (√x)² = x 
und
g⁻¹(g(x)) = √(x²) = x (eigentlich |x|, aber wir vernachlässigen das wie gesagt)

Also kommt bei beiden dasselbe raus, egal ob du die Ausgangsfunktion in die Umkehrfunktion oder die Umkehrfunktion in die Ausgangsfunktion einsetzt - es kommt immer x heraus!

Genau so ist es beim ln(x) und bei e^x.

Der ln(x) ist die Umkehrfunktion von e^x und andersherum.

Du kannst das formal so begründen wie ich oben:

f(f⁻¹(x)) = f⁻¹(f(x)) = x und f⁻¹(x) = ln(x), wenn f(x) = e^x

Das ist kurz und wenn du es sauber erklärst, stellt es auch deinen Mathelehrer vollkommen zufrieden. ;)

Die Gleichung

(1) e^{ln(x)} = x, x ∈ ℝ

stimmt nur für x⪈0, da nur in diesem Definitionsbereich überhaupt definiert ist. Im Unterschied dazu ist

(2) e^{ln(z)} = z, z ∈ ℂ

für alle z≠0 richtig, und das Umgekehrte zu (1),

(3) ln(e^{x}) = x

stimmt immer.

Der Grund für beides ist, wie andere User bereits geschrieben haben, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis e (kurz "e-Funktion" genannt) ist:

x = e^{y} ⇔ y = ln(x) ⇒ e^{y = ln(x)}

Voilà!

Das ist die Erklärung des Logarithmus:

Der Logartihmus von a zur Basis b ist die Zahl, die bei b im Exponenten stehen muss, damit a rauskomt: b hoch (Logartihmus von a zur Basis b) = a.

Ersetze b durch e, a durch x:
e hoch (Logartihmus von x zur Basis e) = x

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