Kann mir mal jemand erklären wie man auf e hoch ln(x) =x kommt?
Hallo, ich würde gerne wissen, warum e hoch ln(x)=x ist. Ich brauch das nämlich für einen Vortrag diese Woche. Es wäre schön wenn ich am besten noch heute eine Antwort bekäme.
Danke schonmal im voraus.
5 Antworten
Der ln(x) ist die Umkehrfunktion zu e^x.
Also gilt: ln(e^x) = e^(ln(x)) = x.
Formal gesagt gilt: f(f⁻¹(x)) = f⁻¹(f(x)) = x
Und f(x) = e^x → f⁻¹(x) = ln(x).
Das ganze kannst du dir mit der Funktion g(x) = x² und g⁻¹(x) = √x
(wir vernachlässigen jetzt mal die Probleme mit dem Definitionsbereich, das ganze dient nur der Veranschaulichung)
g(g⁻¹(x)) = (√x)² = x
und
g⁻¹(g(x)) = √(x²) = x (eigentlich |x|, aber wir vernachlässigen das wie gesagt)
Also kommt bei beiden dasselbe raus, egal ob du die Ausgangsfunktion in die Umkehrfunktion oder die Umkehrfunktion in die Ausgangsfunktion einsetzt - es kommt immer x heraus!
Genau so ist es beim ln(x) und bei e^x.
Der ln(x) ist die Umkehrfunktion von e^x und andersherum.
Du kannst das formal so begründen wie ich oben:
f(f⁻¹(x)) = f⁻¹(f(x)) = x und f⁻¹(x) = ln(x), wenn f(x) = e^x
Das ist kurz und wenn du es sauber erklärst, stellt es auch deinen Mathelehrer vollkommen zufrieden. ;)
Die Gleichung
(1) e^{ln(x)} = x, x ∈ ℝ
stimmt nur für x⪈0, da nur in diesem Definitionsbereich überhaupt definiert ist. Im Unterschied dazu ist
(2) e^{ln(z)} = z, z ∈ ℂ
für alle z≠0 richtig, und das Umgekehrte zu (1),
(3) ln(e^{x}) = x
stimmt immer.
Der Grund für beides ist, wie andere User bereits geschrieben haben, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zur Basis e (kurz "e-Funktion" genannt) ist:
x = e^{y} ⇔ y = ln(x) ⇒ e^{y = ln(x)}
Voilà!
Das ist die Erklärung des Logarithmus:
Der Logartihmus von a zur Basis b ist die Zahl, die bei b im Exponenten stehen muss, damit a rauskomt: b hoch (Logartihmus von a zur Basis b) = a.
Ersetze b durch e, a durch x:
e hoch (Logartihmus von x zur Basis e) = x
weil der ln die umkehrfunktion einer e Funktion ist, ganz einfach
Weil ln(x) so definiert ist.