Kann mir jemand sagen,warum die dritte Wurzel von 5 ein unendlicher Dezimalbruch ist :)?

6 Antworten

Die Kubikwurzel einer Zahl, die keine Kubikzahl ist, ist immer irrational, hat also unendlich viele (nicht-periodische) Nachkommastellen.

Somit kann sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden (das Mengenzeichen ℚ für die rationalen Zahlen steht deshalb auch für Quotient).

Ich könnte dir das jetzt mathematisch beweisen, aber das ist wahrscheinlich nicht die Art von Antwort, die du dir erhoffst.

Ich will es dir erklären:

125 ist eine Kubikzahl, denn 5³ ist 125 und ³√125 ist somit 5.

Es gibt eine ganze Zahl, die mit 3 potenziert wieder 125 ergibt, nämlich 5.

Aber auch eine rationale Zahl reicht uns schon, denn 0,125 ist auch eine Kubikzahl, da 0,5³ = 0,125.

Aber es gibt einfach keine rationale Zahl, die mit 3 potenziert 5 ergibt.

Da wirst du ewig suchen müssen und keine finden.

Die Kubikwurzel aus 5 liegt zwischen 1 und 2, denn 1³ = 1 und 2³ = 8.

Diese Intervallschachtelung kannst du so lange fortführen wie du willst, du wirst zwar auf die Dezimaldarstellung 1,7099759 oder sogar 1,7099759466767 kommen, aber:

1,7099759³ = 4,99999590549541302479

und

1,7099759466767³ = 5,000000000000026409554739456349888239663

Keine rationale Zahl ergibt mit 3 potenziert genau 5. Manche Zahlen ergeben ungefähr 5, manche sogar fast genau 5, aber keine rationale Zahl ergibt mit 3 potenziert ganz genau 5.

Das musst du dir merken. Eine solche Zahl gibt es im rationalen Zahlenbereich nicht (aber im reellen).

Zusammenfassend kann man sagen:

Es gibt kein rationales x, für das gilt x³ = 5!

Mathematisch ausgedrückt: ∄x∊ℚ: x³ = 5

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

PS: Falls du es genau wissen willst: 

1,7099759466766969893531088725438601098680551105430549243828617074442959205041732162571870100201890022045032893904540180871975766468007853747138938944150323331560314622649791507043419693392331556442948853995290819827739186320965662995758780116286757879110052836352061669998102125155418320247714835878190657484446984173464201963041298204734890260768230890717312687715144515375743439720227229969986779233907135532335626211152356872998121516645222945037398063152646410143280889227495462756894258712974824203363484172219926324065337546466662004304915440060892721164046962824861310786044175779997779144665348074625079926299584741830468405398548788159427282354748502976167685512496004312060609470885587942956036479859692162581748126195221402426628344487955972210047807361025407525208879498664957034983029822045129304343467219922780082168158541969442506136121500428842312288836099248335331034101486578540635641668604212590212402656769351270852853960362710307916348031212198609664583373227186454049794320526462788444840608590561491344493472503276640424694167241859321250935194964121451002921463522366997014761629490655194902806561116971978204310973671051495172825311208813222844372014365470469802820395071114165242047788531657231117443778885081074386339293986163163581452215266603012000186464376513738314723048732810006058694018399289616400150808073239708667898460620369740102792994014826858001921146707205672229610262809993874286657458965909635958771129688780376425966305906161900829176570466827522209772188625708101712403577445257046130163612230168501334012764035932143289224499398474326694667897032741930726370018291589690072913149732414425685956161590450593948320124566709041607248000776215109926490974804189638535604925486964968391505119217992116487843281846286582192208916131625430023976736627367395794980411703091336384056413³  5

Die meisten direkten rigorosen Beweise für Irrationaität sind sehr unhandlich, für Nichtstudenten unverständlich und wahrscheinlich nicht wonach du suchst. Ich gebe dir deshalb jetzt einen intuitiven Beweis, der nicht komplett rigoros ist, sich mit etwas Mühe aber rigoros machen lässt, also ein völlig legitimer Beweis ist.

Die eigentliche Arbeit ist es, sich klarzumachen, dass folgendes gilt: Ist q eine rationale Zahl und keine ganze Zahl, so sind q², q³,... (alle natürlichen Potenzen von q) auch keine ganzen Zahlen. Das machst du dir klar, indem du q = a/b wählst und dir klarmachst, was es bedeutet, dass q ganzzahlig ist: b ist ein Teiler von a. Wenn b aber kein Teiler von a ist, dann ist b² auch kein Teiler von a², b³ kein Teiler von a³ usw. (Warum? Tip: Fundamentalsatz der Arithmetik, das ist jetzt der weiterführende Stoff, von dem ich nicht weiß, ob du ihn willst/brauchst).

Wenn du das weißt, ist sofort klar: Ist die n-te Wurzel einer ganzen Zahl k keine ganze Zahl, ist sie irrational. Anders formuliert: Ist k keine n-te Potenz, so ist die n-te Wurzel von k irrational. Bedeutet, alle Quadratwurzeln von nicht-Quadratzahlen sind irrational, alle Kubikwurzeln von nicht-Kubikzahlen sind irrational usw.

Folglich bemerken wir, dass 5 keine Kubikzahl ist (1³ < 5 und 2³ > 5), also ist die dritte Wurzel auf 5 irrational.

LG

Nun was du meinst ist eine irrationale Zahl.

Stell es dir mal so vor:

Die Wurzel aus 2 ist auch eine irrationale Zahl.
Sie ist etwa 1,4 , aber halt 1,4 ins Quadrat ist nur 1,96!
1,5 ins Quadrat wäre allerdings mit 2,25 zu groß. 
Also nehmen wir noch eine Nachkommastelle und haben 1,41 
Aber auch 1,41 ins Quadrat ist mit 1,9881 wieder zu klein, und 1,42 ins Quadrat wäre wieder zu groß. 

Wir können noch eine Stelle nehmen und erhalten 1,414. Das ist allerdings auch noch nicht genau die Wurzel von zwei. Diese können wir mit einer endlichen Zahlenfolge auch nicht schreiben, sondern können uns nur dieser Zahl annähern. Je mehr Nachkommastellen wir nehmen, um so genauer trifft unsere Zahl die Wurzel von 2, erreichen tun wir sie so aber nie ganz.

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