Weiß jemand die genaue Wurzel der Zahl 2? Diese soll zwischen 1,414213562 und 1,414213563 liegen. Habe es ausgerechnet, sind nicht unendlich Nachkommastellen?

... komplette Frage anzeigen

6 Antworten

Jede Wurzel einer natürlichen Zahl ist entweder selbst eine natürliche Zahl oder eine reelle Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen (im Dezimalsystem).
Das ist auch relativ leicht zu beweisen, wenn man das Quadrieren von abbrechenden Kommazahlen anschaut. 

Angenommen wir haben eine Zahl x mit endlich vielen Nachkommastellen. Wir können die Anzahl der Nachkommastellen zählen und diese Zahl n nennen. Dieses n muss eine natürliche Zahl sein. Beispiel: x = 1,414 hat drei Nachkommastellen ==> n = 3. Null kann dabei also nie die letzte Ziffer sein.

Wir können diese Zahl zerlegen: 1,414 = x = 1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000.
Jetzt quadrieren wir diese Zahl: 1,414² = x² = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)²
Wobei (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)² ähnlich wie nach den Binomischen Gesetzen ausmultipliziert werden kann. 

(1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)² = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) = 1 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + 4/10 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + 1/100 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + 4/1000 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + (4/10 + 16/100 + 4/1000 + 16/10000) + (1/100 + 4/1000 + 1/10000 + 4/100000) + (4/1000 + 16/10000 + 4/100000 + 16/1000000) wobei die Klammern im letzten Term nur der Übersicht dienen.

Jetzt könnte man alle Summanden ordnen und sammeln und z.B.  16/100 zerlegen in 1/10 + 6/100.

Dann fällt einem auf, dass man genau einen Summand mit " /1000000" erhält, hier: 6/1000000. Das ist die letzte Stelle der quadrierten Zahl. Diese ist immer gleich der letzten Ziffer des Quadrats der letzten Ziffer der Ausgangszahl.
Also: x = 1,414 ==> letzte Ziffer: 4 ==> 4²=16, davon die letzte Ziffer: 6 ==> 6 ist die letzte Ziffer von 1,414².

Außerdem hat diese in der oben verwendeten Schreibweise den Divisor 1000000 was gerade das Quadrat des Divisors der letzten Ziffer der Ausgangszahl x sein muss.

Es gibt keine reelle Zahl außer der Null (welche nicht die letzte Stelle von x sein darf) deren Quadrat Null ergibt. Somit ist die letzte Stelle des Quadrats also immer von Null verschieden.

Das Quadrta einer reelle Zahl mit n endlich vielen Nachkommastellen hat also immer 2 * n Nachkommastellen.

Es kann also keine relle nicht natürliche Zahl mit endlich vielen Kommastellen geben, deren Quadrat 2 ist ( oder irgendeine andere natürliche Zahl).

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Ja die Wurzel von zwei ist eine irationale Zahl. (Nicht durch einen Bruch darstellbar) --> unendlich (wie pi und wurzel 3,..)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von PiaMaus2001
17.02.2016, 20:32

Aber ich habe eine Zahl, die x hoch 2 = 2 ergibt. Diese Zahl hat nicht unendlich Nachkommastellen, sondern ist verhältnismäßig relativ kurz.

0
Kommentar von PiaMaus2001
17.02.2016, 20:36

Nein, meine Zahl ergibt exakt 2, habe es oft getestet. 1,414213562 im Quadrat ergibt 1,9999999... Aber das meine ich nicht

0

Hä, was willst du? Wurzel 2 ist eine irrationale Zahl. Ihre Dezimalentwicklung ist unendlich, aber nicht periodisch.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Das Ergebnis von √(2) hat unendlich viele Stellen nach dem Komma, deshalb kann auch niemand im Universum die komplette / vollständige Zahl aufschreiben.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Ich weiß jetzt nicht, wie du das gerechnet hast, ich nehme mal an mit einem Taschenrechner? :') Da werden irgendwann keine Nachkommerstellen mehr angezeigt..
Die Wurzel von 2 ist irrational, also hat sie bewiesenermaßen unendlich viele Nachkommerstellen..
Das sind die ersten 30 Nachkommerstellen von √2

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von PiaMaus2001
17.02.2016, 20:37

Nein, nicht mit dem Taschenrechner, nur logisch gedacht :')

0
Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von PiaMaus2001
17.02.2016, 20:42

Nachdem die Wurzel zwischen 1,414213562 und 1,414213563 liegen muss, bin ich von 1 ausgegangen (weil es ein ganzes ist und ich davon ausgegangen bin) und habe die Hälfte genommen also 0,5 und die 5 an die 1,414213562 drangehangen, also: 1,4142135625. Das Ergebnis aus der Zahl im Quadrat ergibt exakt 2.

0

Was möchtest Du wissen?