Weiß jemand die genaue Wurzel der Zahl 2? Diese soll zwischen 1,414213562 und 1,414213563 liegen. Habe es ausgerechnet, sind nicht unendlich Nachkommastellen?

6 Antworten

Jede Wurzel einer natürlichen Zahl ist entweder selbst eine natürliche Zahl oder eine reelle Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen (im Dezimalsystem).
Das ist auch relativ leicht zu beweisen, wenn man das Quadrieren von abbrechenden Kommazahlen anschaut. 

Angenommen wir haben eine Zahl x mit endlich vielen Nachkommastellen. Wir können die Anzahl der Nachkommastellen zählen und diese Zahl n nennen. Dieses n muss eine natürliche Zahl sein. Beispiel: x = 1,414 hat drei Nachkommastellen ==> n = 3. Null kann dabei also nie die letzte Ziffer sein.

Wir können diese Zahl zerlegen: 1,414 = x = 1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000.
Jetzt quadrieren wir diese Zahl: 1,414² = x² = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)²
Wobei (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)² ähnlich wie nach den Binomischen Gesetzen ausmultipliziert werden kann. 

(1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)² = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) = 1 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + 4/10 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + 1/100 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + 4/1000 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + (4/10 + 16/100 + 4/1000 + 16/10000) + (1/100 + 4/1000 + 1/10000 + 4/100000) + (4/1000 + 16/10000 + 4/100000 + 16/1000000) wobei die Klammern im letzten Term nur der Übersicht dienen.

Jetzt könnte man alle Summanden ordnen und sammeln und z.B.  16/100 zerlegen in 1/10 + 6/100.

Dann fällt einem auf, dass man genau einen Summand mit " /1000000" erhält, hier: 6/1000000. Das ist die letzte Stelle der quadrierten Zahl. Diese ist immer gleich der letzten Ziffer des Quadrats der letzten Ziffer der Ausgangszahl.
Also: x = 1,414 ==> letzte Ziffer: 4 ==> 4²=16, davon die letzte Ziffer: 6 ==> 6 ist die letzte Ziffer von 1,414².

Außerdem hat diese in der oben verwendeten Schreibweise den Divisor 1000000 was gerade das Quadrat des Divisors der letzten Ziffer der Ausgangszahl x sein muss.

Es gibt keine reelle Zahl außer der Null (welche nicht die letzte Stelle von x sein darf) deren Quadrat Null ergibt. Somit ist die letzte Stelle des Quadrats also immer von Null verschieden.

Das Quadrta einer reelle Zahl mit n endlich vielen Nachkommastellen hat also immer 2 * n Nachkommastellen.

Es kann also keine relle nicht natürliche Zahl mit endlich vielen Kommastellen geben, deren Quadrat 2 ist ( oder irgendeine andere natürliche Zahl).

Ich weiß jetzt nicht, wie du das gerechnet hast, ich nehme mal an mit einem Taschenrechner? :') Da werden irgendwann keine Nachkommerstellen mehr angezeigt..
Die Wurzel von 2 ist irrational, also hat sie bewiesenermaßen unendlich viele Nachkommerstellen..
Das sind die ersten 30 Nachkommerstellen von √2

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209

Nein, nicht mit dem Taschenrechner, nur logisch gedacht :')

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Das Ergebnis von √(2) hat unendlich viele Stellen nach dem Komma, deshalb kann auch niemand im Universum die komplette / vollständige Zahl aufschreiben.

Ja die Wurzel von zwei ist eine irationale Zahl. (Nicht durch einen Bruch darstellbar) --> unendlich (wie pi und wurzel 3,..)

Aber ich habe eine Zahl, die x hoch 2 = 2 ergibt. Diese Zahl hat nicht unendlich Nachkommastellen, sondern ist verhältnismäßig relativ kurz.

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@PiaMaus2001

Nein, deine Zahl ergibt nicht 2, wenn man sie quadriert, sondern 1,9 irgendetwas.

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@HantelbankXL

Taschenrechner können z.B. nicht eine unendliche Zahlenfolge darstellen und runden 

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Nein, meine Zahl ergibt exakt 2, habe es oft getestet. 1,414213562 im Quadrat ergibt 1,9999999... Aber das meine ich nicht

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Hä, was willst du? Wurzel 2 ist eine irrationale Zahl. Ihre Dezimalentwicklung ist unendlich, aber nicht periodisch.

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