warum die Wurzel nicht abbrechende dezimalbruch sein?
beweis dass, kann kein abbrechender Dezimalebruch gelich sein kann
3 Antworten
Abbrechender Dezimalbruch bedeutet: die Zahl müsste eine rationale Zahl sein, also eine Zahl, die ausgedrückt werden kann mit p/q, wobei p und q zwei teilerfremde ganze Zahlen sind.
Wenn nun gilt, dass p/q = Wurzel(2), dann gilt p²/q² = 2 oder p² = 2q²
da 2q² eine gerade Zahl ist, muss auch p² eine gerade Zahl sein und damit auch p.
p kann also ausgdrückt werden durch 2r
Es gilt also 2q² = (2r)² = 4r² und damit q² = 2r²
Damit mus auch q gerade sein.
Es sind nun also p und q gerade, das steht im Widerspruch zur Voraussetzung, dass p und q teilerfremd sind.
Ach du meine Güte.
Wenn man in Mathematikfragen nicht mehr voraussetzen kann, dass 1 +1 = 2 ist, dann wirds mühsam.
Aber gut, für extra für dich:
sei d ein endlicher Dezimalbruch, der nach n Stellen abbricht, so ist d * 10^n eine Ganzzahl, nennen wir sie D.
also D = d * 10^n
daraus folgt: d = D/10^n
Da D und 10^n Ganzzahlen sind ìst d zwingend eine rationale Zahl.
Der Fragesteller wollte aber den Beweis/Erklärung für :"Abbrechender Dezimalbruch bedeutet: die Zahl müsste eine rationale Zahl sein"
Nein, das wollte er nicht. Er wollte wissen warum Wurzel(2) kein abbrechender Dezimalbruch sein kann.
1/7 ist auch kein abbrechender Dezimalbruch und dennoch ist die Zahl rational. Interessanter ist die Frage warum alle rationalen Zahlen sich in den Nachkommastellen periodisch wiederholen.
1/7 = 0, 142857 142857 142857 142857 ...
Kenne die Lösung nicht. Aber deine Frage macht nur so Sinn wie ich sie gestellt habe. Möchte hier die Beiträge in die richtige Richtung lenken, weil es mich interessiert.
kann sein weil 2 eine primzahl ist? aber auch 1/7 ist auch periodisch,und warum ß weisich auch nciht
Willst du wissen unter welchen Bedingungen die Quadratwurzel ein rationales Ergebnis hat?
also wurzel aus 2= warum kann nicht abbrechende dezimalbruch(rational) als wurzel rauskommt, also beweise , das kein abbrechendedezimalbrch hier als wurzel raus kommt:
Wenn die Dezimalstellen abbrechen, dann ist die Zahl trivialerweise rational. gftnom hat mit https://www.mathe-online.at/mathint/zahlen/i_sqrt2.html gezeigt das Wurzel(2) nicht rational sein kann. Also kann sie nicht mit einer endlichen Summation dargestellt werden: a0 + a1/10^1 + a2/10^2+...+an/10^n
Das wird üblicherweise so gemacht, wie es als Paradebeispiel des indirekten Beweises tausendfach im Internet zu finden ist und von gfntom vorgerechnet worden ist.
Etwas einfacher und v. a. viel leichter verallgemeinerbar finde ich es, wenn man einige Eigenschaften der Normaldarstellung rationaler Zahlen voraussetzen kann. Dann beruht der Beweis darauf, dass
- ein abbrechender Dezimalbruch der Quotient einer ganzen Zahl und einer Zehnerpotenz ist, und damit eine rationale Zahl
- das Quadrat (oder jede positive ganzzahlige Potenz) der Normaldarstellung einer rationalen Zahl wieder die Normaldarstellung einer rationalen Zahl ist, und das Quadrat genau dann den Nenner 1 hat, wenn auch die Ausgangsdarstellung den Nenner 1 hat; damit ist das Quadrat (jede positive ganzzahlige Potenz) einer rationalen Zahl genau dann ganz, wenn auch die Zahl selbst ganz ist
- wenn die Wurzel (n-te Wurzel mit natürlichem n) einer ganzen Zahl nicht-ganz aber rational wäre, 2. auf einen Widerspruch führt
Ich finde, die Frage wurde nicht beantwortet: Du hast zwar gezeigt, das die Wurzel(2) nicht rational sein kann. Der Fragesteller wollte aber den Beweis/Erklärung für :"Abbrechender Dezimalbruch bedeutet: die Zahl müsste eine rationale Zahl sein" Wo ist der abbrechende bzw. nicht abbrechende Dezimalbruch in der Beweiskette?