Kann mir jemand bei dieser Stereometrie Aufgabe weiterhelfen?

Der Mantel eines geraden Kegels ist ein Kreissektor mit Zentriwinkel 240° und Radius s = 4 cm. Berechne seinen Grundkreisradius, seine Höhe, sein Volumen und den Oberflächeninhalt.

Leider habe ich vom Lehrer als Lösung nur r = 2.67 angegeben bekommen

Answer 1

[Halbrecht]

das ist deine Ausgangsskizze . So was hilft , gerade Ungeübten wie dir

du hast einen Teil vom Kreis

Das U hier ist ein Teil vom Gesamtumfang , den man mit 2pi*s berechnen würde

Hier ist nur ein Teil 2pi*s*240/360 = 2pi*4*2/3 = 16/3 * pi

Ein Kreis mit Umfang 8/3 * pi hat einen Radius von (16/3 * pi ) / (2pi) = 16/6 = 2 2/3

Answer 2

[mihisu]

Leider habe ich vom Lehrer als Lösung nur r = 2.67 angegeben bekommen

Naja. Weil du es wohl selbst lösen sollst.

Hinweise:

• Aus der Mantellinienlänge s = 4 cm und dem Winkel α = 240° kann man die entsprechende Bogenlänge berechnen. [Bogenlänge eines Kreisbogens bei gegebenem Radius s und gegebenem Mittelpunktswinkel α.]
• Die so berechnete Bogenlänge ist gleich dem Umfang des Kreises der Grundfläche. Damit kann man dann den entsprechenden Kreisradius r berechnen. [Kreisradius bei gegebenem Umfang.]
• Für die Höhe: Betrachte ein entsprechendes rechtwinkliges Dreieck im Kegel mit den Kathetenlängen h und r und der Hypotenusenlänge s. Was für einen berühmten Satz für rechtwinklige Dreiecke kennst du, der dir hier helfen könnte? [Bzw. findest du eine fertige Formel vielleicht in einer Formelsammlung oder beispielsweise auf Wikipedia.]
• Für das Volumen: Du hast dann bereits den Radius r und die Höhe h des Kegels berechnet. Damit sollte das Volumen kein Problem mehr sein. Wenn du die entsprechende Formel nicht auswendig weißt, kannst du in einer Formelsammlung nachschauen oder im Internet (beispielsweise bei Wikipedia) recherchieren.
• Für das Volumen: Du hast dann bereits den Radius r berechnet und die Mantellinienlänge s gegeben. Damit sollte der Oberflächeninhalt kein Problem mehr sein. Wenn du die entsprechende Formel nicht auswendig weißt, kannst du in einer Formelsammlung nachschauen oder im Internet (beispielsweise bei Wikipedia) recherchieren. [Oder du erkennst dass sich die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, und berechnest die entsprechenden Flächeninhalte von Grundfläche und Mantelfläche und addierst diese miteinander.]

====== Ergänzung ======

Lösungsvorschlag zum Vergleich...

Answer 3

[ItachiUchihaLX]

Gegeben

Zentriwinkel = 240°; Radius = 4cm

Gesucht

Grundkreisradius, Höhe, Volumen, Oberflächeninhalt

Lösung

Den Grundkreisradius haben wir ja schon gegeben mit 4cm. Falls du eher die Grundkreisfläche meintest, dann berechnen wir das mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises.

$Grundkreisfläche\ =\ \pi\cdot r^2\ =\ \pi\ \cdot\ 16cm^2\ \approx\ 50.27\ cm^2$

Dann berechnen wir für die allgemeine Höhe die Mantelhöhe mit dem Zentriwinkel und dem Radius. Dafür rechnen wir erst den Zentriwinkel ins Bogenmaß um.

$Zentriwinkel\ =\ 240°\ \cdot\ \frac{\pi}{180°}=\ \frac{4}{3}\pi$

Nun rechnen wir damit die Mantelhöhe aus.

$Mantelhöhe\ =\ Zentriwinkel\ \cdot\ Radius$ $Mantelhöhe\ =\ \frac{4}{3}\pi\ \cdot\ 4cm\ =\ \frac{16}{3}\pi$ $Mantelhöhe\ \approx\ 16.76cm$

Jetzt können wir die allgemeine Höhe ausrechnen.

$Höhe\ =\ \sqrt{Mantelhöhe^2-Radius^2}$ $Höhe\ =\ \sqrt{264.8976\ cm^2}\ =\ 16.28cm$

Mit dieser wiederum rechnen wir jetzt das Volumen aus.

$Volumen\ =\ \frac{1}{3}\ \cdot\ Grundkreisfläche\ \cdot\ Höhe$ $Volumen\ =\ \frac{1}{3}\ \cdot\ 50.27cm^2\ \cdot\ 16.28cm\ =\ 272.8\ cm^3$

Und schlussendlich können wir den Oberflächeninhalt noch ausrechnen.

$Oberflächeninhalt\ =\ Grundkreisfläche\ +\ Mantelfäche$ $Oberflächeninhalt\ =\ 50.27cm^2\ +\ \left(\pi\ \cdot\ Radius\ \cdot\ Mantelhöhe\right)$ $Oberflächeninhalt\ =\ 50.27cm^2\ +\ \left(\pi\ \cdot\ 4cm\ \cdot\ 16.28cm\right)$ $Oberflächeninhalt\ =\ 50.27cm^2\ +\ 210.61cm^2\ =\ 260.88cm^2$

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Der Profi

Comments

[Halbrecht]

mantelhöhe ( nicht Kegelhöhe ) ist mit s = 4 doch schon gegeben

[ItachiUchihaLX]

@Halbrecht

Dachte er meint den Kreisradius, da er Radius geschrieben hat.