Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Folgendes Problem, bitte mit Rechenweg fürs Verständnis:
Welche Form hat eine Konservendose von 1 Liter Inhalt , deren Oberfläche minimal ist?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Was sind die Rand- oder Nebenbedingen an die Form?
Das ist alles was uns in der Aufgabenstellung gegeben wurde.
2 Antworten
Theoretisch hätte die Kugelform die kleinste Oberfläche. Konservendosen sind jedoch zylinderförmig.
Für ein gegebenes Volumen hat ein gleichseitiger Zylinder (Höhe = Durchmesser, d.h. h = 2r) die kleinste Oberfläche.
Wenn es sich um eine normale, zylindrische Dose handelt, dann berechnet sich,
mit h = Höhe der Dosenwand und r = Radius des Bodens,
das Volumen zu r² Pi h = 1000 (cm³),
die Oberfläche zu 2 r² Pi + 2 Pi r h.
Die Gleichung für das Volumen löst man z.B. nach h auf und setzt das in die Gleichung für die Oberfläche ein,
2 r² Pi + 2 Pi r * 1000 / (r² Pi )
Man sucht nun das lokale Minimum durch Ableiten dieser Funktion nach r und Suche nach Nullstellen.