Kann jemand eine Aufgabe zu Gleichungssysteme lösen?
Bitte diese Aufgabe lösen
2 Antworten
Abkürzungen
k: Anzahl der Katzen im Garten
r: Anzahl der Raben im Garten
s: Anzahl der Schnecken im Garten
Es gibt insgesamt 39 Tierköpfe im Garten. Da jedes Tier genau einen Kopf hat, gibt es ebenso viele Tiere im Garten wie Tierköpfe. Also ist
(1) k + r + s = 39
- Da jede Katze im Garten (hoffentlich ;) 4 Füße hat, gibt es 4-mal so viele Katzenfüße wie Katzen im Garten, nämlich 4·k.
- Da jeder Rabe im Garten (hoffentlich ;) 2 Füße hat, gibt es 2-mal so viele Rabenfüße wie Katzen im Garten, nämlich 2·r.
- Da jeder Rabe im Garten genau einen Fuß hat, gibt es ebenso viele Schneckenfüße wie Schnecken im Garten, nämlich 1·s.
- Es gibt 57 Tierfüße im Garten und das ist gerade die Summe der 4·k Katzenfüße, der 2·r Rabenfüße und der s Schneckenfüße, also
(2) 4·k + 2·r + s = 57
Und es gibt im Garten 6 Rabenfüße mehr als Katzenfüße, also ist die Anzahl 2·r der Rabenfüße um 6 größer als die Anzahl 4·k der Katzenfüße, also ist
(3) 2·r = 4·k + 6
Nun lösen wir dieses Gleichungssystem mit den 3 Gleichungen (1), (2), (3). Zunächst weitere Abkürzungen:
LS: linke Seite
RS: rechte Seite
LS(1): linke Seite von Gleichung (1)
RS(2): rechte Seite von Gleichung (2)
BS(3): beide Seiten von Gleichung (3)
etc.
Lösung des Gleichungssystems
(1) k + r + s = 39
(2) 4k + 2r + s = 57
(3) 2r = 4k + 6
Wegen (3) können wir 2r in LS(2) durch 4k + 6 aus RS(3) ersetzen und erhalten
(4) 4k + (4k + 6) + s = 57
oder nach Zusammenfassung der LS(4)
(5) 8k + 6 + s = 57
Durch Subtraktion von 6 auf BS(5) wird daraus
(6) 8k + s = 51
Division durch 2 auf BS(3) ergibt
(7) r = 2k + 3
Ersetzen von r auf LS(1) durch 2k + 3 aus RS(7) ergibt
(8) k + (2k + 3) + s = 39
und nach Zusammenfassung der LS(8)
(9) 3k + 3 + s = 39
Durch Subtraktion von 3 auf BS(9) wird daraus
(10) 3k + s = 36
Subtraktion BS(10) von BS(6) ergibt
(11) 5k = 15
bzw. nach Division BS(11) durch 5
(12) k = 3
Ersetzen der RS(7) durch die LS(12) ergibt
(13) r = 2·3 + 3
bzw. nach Ausrechnen der RS(13)
(14) r = 9
Ersetzen der LS(10) durch die RS(12) ergibt
(15) 3·3 + s = 36
bzw. nach Subtrahieren von 9 auf BS(15)
(16) s = 27
Aus (12) folgt die Antwort: Es gibt 3 Katzen im Garten.
Aus (14) und (16) folgt: Es gibt 9 Raben und 27 Schnecken im Garten.
Probe:
LS(1) = k + r + s = 3 + 9 + 27 = 39
RS(1) = 39
⇒ LS(1) = RS(1)
LS(2) = 4k + 2r + s = 4·3 + 2·9 + 27 = 57
RS(2) = 57
⇒ LS(2) = RS(2)
LS(3) = 2r = 2·9 = 18
RS(3) = 4k + 6 = 4·3 + 6 = 18
⇒ LS(3) = RS(3)
Anmerkung: Ich hab zuerst den Fehler gemacht zu denken, Schecken hätten keine Füße. Sie haben aber einen.
Hallo
ich bin so auf 3 Gleichungen mit 3 Unbkannten gekommen:
I) S + R + K = 39
II) S + 2R + 4K = 57
III) 2R - 4K = 6
II) - I) liefert:
IV) R + 3K = 18
III) durch 2 dividiert liefert:
V) R - 2K = 3
IV) - V) liefert:
5K = 15 und somit
K = 3
Eingesetzt in V) liefert:
R = 9
K und R eingesetzt in I) liefert:
S = 27