Kann jemand diese Eigenmann-Aufgabe lösen?
Was ist eine Eigenmann Aufgabe?
Das ist einfach ein Typ der sau viele Geometrie aufgaben gemacht hat
4 Antworten
Wenn γ 90° wäre, wäre x rund 5,66 cm.
x soll ganzahlig sein. DIe nächsten ganzen Zahlen um 5,66 cm sind 5 cm oder 6 cm.
Nun kann an sich fragen, wie sich γ ändert, wenn sich die Seite x verlängert oder verkürzt wird.
Ich würde das grafisch lösen, ob 5cm oder 6 cm eine Lösung sein können.
Verlängert man die Seiten x auf 6 cm (oder noch mehr), wird das Dreieck höher oder spitzer, in der Skizze grün. Wie man sieht, wird γ kleiner.
[etwas genauer: wenn x = 6 cm, ist γ ≈ 84°]
Verkürzt man die Seiten, wird das Dreieck niedriger, die Spitze weniger spitz, stumpfer, blau auf der Skizze.
Wie man sieht, wird hier γ größer als 90°.
[etwas genauer: wenn x = 5 cm, ist γ ≈ 106°]
Mit x = 4 kann man in diesem Fall kein Dreieck konstruieren.
Bei Dreiecken ohne rechten Winkel nimmt man normalerweise zum Beispiel den Kosinus Satz oder den Sinussatz um eine Länge oder einen Winkel zu berechnen. Hier das gleiche. Wenn man den Kosinus Satz nimmt, kann man die Seitenlängen (x) und den eingeschlossenen Winkel (Gamma) zu der anderen Seitenlänge von 8 verrechnen. Das sieht dann so aus:
Das kann man jetzt noch umschreiben:
und dann muss man nach cos(gamma) umstellen, und dann die erhaltene Formel:
in die erste Formel für cos(gamma) einsetzen, um eine Variable wegzustreichen.
Hier dann:
Und ab da hab ich probiert. Die 5 funktioniert als Seitenlänge. Jedoch auch die 6. So auch die 7, und vermutlich auch jede andere zahl. Da merkt man auch das Problem: Es kann gar nicht sein, dass x größer als 8 ist, sodass Gamma noch größer als 90° ist. Da muss man einfach für x im Satz des Pythagoras umstellen, und kommt zur Lösung, das jeder Wert unter 5,66 für x, welcher ganzzahlig ist, auch richtig wäre. Und natürlich müssen die Seitenlängen eine positive Länge haben.
Vielleicht hab ich auch irgendwo einen Fehler gemacht, ich hoffe mal nicht.
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!! Ich nehme dann man an dass x=5 reinmuss weil für x=4 wäre gamma ja 180° (weils gleichschenklig ist). Jetzt hab ich denke ich verstanden :))
a² + b² = c²
x² + x² = 8²
2x² = 64
x² = 32
x = √(32)
x ≈ 5,66
Es kann gar nicht sein, dass x ganzzahlig ist. Die Aufgabe ist Quatsch.
Edit: Sorry, stimmt nicht, das Größer-Zeichen zwischen dem Gamma und dem 90° ist nun wirklich schwer zu erkennen.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck wäre x = Wurzel(32), das ist nicht ganzzahlig. Ist x größer als Wurzel(32), so wäre gamma kleiner als 90°, denn dann würde das Dreieck immer spitzer werden.
Ist x kleiner als Wurzel(32), so ist gamma größer als 90°, aber wir haben nur dann ein echtes Dreieck, wenn x echt größer ist als 4.
Da Wurzel(32) ungefähr 5,66 ist, gilt
4 < x < 5,66
Die einzige ganze Zahl dazwischen ist 5 - und das ist dann auch die einzige Lösung.
Naja, z. B. x = 2 geht nicht, weil sich das gar nicht zu einem Dreieck zusammenfügt (Dreiecksungleichung).