Kann die Polizei einfach so mein Internet Verlauf sehen also von Google einfach so?

Nicht einfach so.

Dürfen sie auf gar nicht.

Es seidenn es besteht der Verdacht auf Straftate(en).

Kommt darauf an, was Du mit "einfach so" meinst. Erstmal braucht die Polizei für eine Durchsuchung - das betrifft auch Deine Daten - einen richterlichen Beschluss. Im Normalfall würde die Polizei dann Deine Geräte (Laptop/Handy/Tablet) Beschlagnahmen und untersuchen. Da wird dann auch Dein Internetverlauf untersucht werden. Heimlich aus der Ferne mittels Trojaner ist dies auch möglich, aber auch hier nur mit richterlichen Beschluss und das passiert nur zur Vorbeugung besonders schwerer Straftaten, wie Überwachungen allgemein. Das macht keiner bei zum Beispiel Internetbetrug, da das zu viel Personal bindet. Bei geplanten Anschlägen oder Straftaten im großen Stil, wie bei dem Kinderpornoring, den die hier ausgehoben habe in schon. Die haben die wahrscheinlich schon länger überwacht - auch digital.

Nur bei einer Straftat oder ankündigung einer Straftat. Dazu verständigt die Polizei die Staatsanwaltschaft. Dort stellt dann ein Staatsanwalt oder Richter eine Durchsuchungsanordnung aus und die Polizei kommt um die PCs abzuholen.

Das geht manchmal sehr schnell. Ich kenne einen Fall da hat jemand in einem Schulforum eine Morddrohung gegen Lehrer hinterlassen. Der Staatsanwalt bekam auf Anordnung die Daten vom Provider und die Polizei stand nur 3-4 Stunden später vor der Haustür. Es waren zwei Schüler die die Morddrohung schrieben.

Nein, außer du hast irgendwelche Straftaten begangen, bzw. stehst unter verdacht, dann dürfen sie es kontrolliereen

Nein einfach so nicht