FRITZ!Box können die Eltern oder kann man generell den Verlauf über Google nachvollziehen?

Jein. Eine Fritzbox ist technisch dazu in der Lage. Sie kann für Diagnosezwecke alle Datenpakete protokollieren. Meine letzte eigene hat das im Wireshark Format gespeichert. Das konnte man dann auslesen und so noch nach Monaten nachvollziehen, welches Gerät im Heimnetz wann, wie & worauf zugegriffen hat.

Jetzt das große Aber: Ein Laie würde bei dem Zahlenquark nicht viel erkennen. Und meine jetztige FritzBox die ich vom Provider habe, hat diese Funktion nicht. (Egal ob 1&1, T-Com, etc. Die haben meist gebrandete FritzOS Versionen, die sich von den frei kaufbaren unterscheiden)

Der Router kennt natürlich jede Adresse, die du ansteuerst, sonst könnte er ja nicht dahin routen.

Wer Zugriff auf den Router hat, kann das aufzeichnen, wenn er will.

(Haushaltsübiche) Router speichern keinen Verlauf. Das macht dein Rechner im Browser!

Die Fritzbox speichert normalerweise nicht den Verlauf

Dein Rechner und Google wissen natürlich schon wo du warst