Ist f(x)=x^3 streng monoton oder monoton?
Mir hat ein Mathe Stundent ja gesagt, andererseits gibt's im Internet welche die nein sagen.
(Steigend)
6 Antworten
muss streng monoton steigend sein, da es keine Stelle gibt, an der der Anstieg= 0 oder kleiner wäre
Doch... es gibt die Stelle x=0, an der der Anstieg 0 ist. Aber die Definition von strenger Monotonie lautet: f(a)<f(b) für a<b.... also ist es trotzdem wahr
Tatsächlich gibt es diesen Punkt. Im Ursprung ist die momentane Steigung Null, da es sich hier um einen Sattelpunkt handelt. Aber da es sich dabei nur um einen einzigen Punkt handelt, ist sie laut Definition trotzdem streng monoton.
Die Funktion ist sowohl monoton steigend als auch streng monoton steigend.
Da die Funktion differenzierbar ist und die Ableitung überall größer oder gleich 0 ist, ist das Kriterium für monoton steigend erfüllt.
Das hinreichende Kriterium für strenge Monotonie ist jedoch nicht erfüllt, da die Ableitung an der 0 gleich 0 ist.
Das bedeutet jedoch NICHT dass die Funktion nicht streng monoton ist, da das Kriterium nur hinreichend ist. (Also das Kriterium ist nicht Notwendig, damit eine Funktion streng monoton ist)
Da die 1. Ableitung nur ein einem Punkt 0 ist, kann es kein offenes Intervall geben, wo die Funktion konstant ist, da das nur passieren kann, wenn die Ableitung auf einem offenen Intervall gleich 0 ist. Somit ist die Funktion nirgends lokal konstant, die Funktion ist somit streng monoton.
Streng monoton steigend bedeutet: Aus x1 < x2 folgt f(x1) < f(x2)
Das gilt bei f(x) = x³ für alle x.
Also ist f(x) auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.
Der Student hat Recht. Eigentlich würde es Sinn ergeben, dass es nicht so wäre, da die Funktion am Ursprung tatsächlich keine Steigung hat. Aber es ist so, dass die Steigung nur an einem Punkt theoretisch Null wäre. Deshalb wurde definiert, dass diese Funktion streng monoton steigend ist. Übrigens ist mit der selben Begründung auch die Funktion f(x)=x^2 im Intervall (-∞; 0] und [0; ∞) streng monoton und nicht nur monoton.
LG :)
Monotone (steigende) Funktionen steigen zwar meist auch an, es ist jetzt jedoch auch erlaubt nicht anzusteigen (Ableitung = 0). Also praktisch für ein paar Werte den gleichen Funktionswert haben und dann wieder weiter ansteigen ist in Ordnung. Alle streng monotonen Fkt. sind also auch monoton.
f(x) = 7 ist sowohl monoton fallend als auch monoton steigend.
Treppenfunktionen oder andere stückweise konstante Funktionen sind monoton (und nicht streng monoton) steigend oder fallend.
Ganzrationale Funktionen, also die mit x², x³ usw., sind intervallweise streng monoton.
Ich seh gerade ich hab vergessen zu erwähnen er hat ja zu nur monoton gesagt
beides.
Sie ist nicht nur monoton - sondern auch streng monoton.
Monotonie: Für je zwei x1,x2 gilt, wenn x1 < x2, dann ist f(x1) <= f(x2)
Strenge Monotonie: Für je zwei x1,x2 gilt, wenn x1 < x2, dann ist f(x1) < f(x2)
Und noch ein Hinweis:
Die erste Ableitung der Funktion spielt bei der Definition der Monotonie nicht die geringste Rolle. Der Begriff der Ableitung hat hier nichts zu suchen!
Das ist nicht die korrekte Definition der Monotonie.