ist x^5 streng monoton steigend, ja oder?
3 Antworten
Ja ist es (in reellen).
In komplexen sieht's anders aus.
Das können wir auch beweisen.
Leiten wir ab, erhalten wir eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Und ihr Scheitelpunk ist auf P(x|0), also ist jeder reelle x wert den wir einsetzen positiv oder 0. Da die Steigung immer positiv oder 0 ist, ist die Funktion streng monoton steigend:
f(x) = x^{5}
f'(x) = 5 * x^{4}
-> alle Funktionswerte in f' für reelle Argumente sind zwangsweise positiv oder 0
--> Die Steigung an allen Stellen in f sind positiv oder 0 (Definition von streng monoton Steigend)
---> f ist in reellen streng monoton steigend
Ich frage nur, weil die mir geläufige Definition von Monotonie ungefähr so lautet:
f ist monoton steigend, wenn für x < y automatisch f(x) ≤ f(y) folgt.
Soweit ich weiß, sind die komplexen Zahlen nicht kanonisch geordnet, weswegen ich mich frage, wie Monotonie im Komplexen definiert würde, da "x < y" dort höchstens für reelle Zahlen x,y sinnvoll erscheint.
Da haben Sie natürlich vollkommen recht. So ist das tatsächlich nicht in komplexen möglich.
Es geht aber auch anders:
Wir können aber auch die Monotonie über das Steigungsverhalten begründen. Ist die Steigung positiv so ist die Funktion da wo die Steigung positiv ist monoton steigend.
Hier kann es beim komplexen differenzieren vorkommen, das jedes komplexe Argument x in f(x) "eine" reelle Steigung ("einen" reellen Funktionswert) mit sich bringt.
Das funktioniert aber nur bei wenigen Funktionen.
Hier leider nicht, weswegen man hier leider nicht die Monotonie in komplexen bewerten kann. :'3
Also in einer Statistik Vorlesung habe ich Mal den Begriff "generalized monotony" kennengelernt, mit dem Man dann Verteilungsfunktionen von R^n nach [0,1] definieren kann. (Das Kriterium sieht aber dann seeehr hässlich aus).
Aber für eine Funktion von C nach C ergibt es, wie du sagst überhaupt keinen Sinn von Monotonie zu sprechen, da man nichtmal eine Ordnung hat.
Ja, x^5 ist streng monoton steigend.
Auf die Erklärung bin ich jetzt gespannt....
/edit: Vergiss das, ich war völlig auf dem Holzweg, meine Antwort ist natürlich auch falsch....
Ich liefere die Erklärung aber trotzdem. Schadet meiner Antwort nicht. ^^
Falls x<0 und y>=0 so gilt y^5<0 und x^5>0. Hier gilt also strenge Monotonie schonmal. Sei nun x<y und beide Zahlen haben das selbe Vorzeichen. Dann gilt:
y^5-x^5=(y-x)(x^4+x^3*y+x^2y^2+xy^3+y^4) > 0
da y-x>0 und der 2. Faktor aus positiven Summanden besteht (x,y gleiches VZ).
Nein, natürlich nicht. Ein Exponentialfunktion ist nie monoton....
/edit: Ist natürlich völliger Blödsinn, ich war hier völlig auf dem Holzweg. Ja, die Funktion ist streng monoton steigend....
Ergibt der Begriff der Monotonie im Komplexen überhaupt Sinn?