Ist ein Vektor unendlich lang?
Die Frage im Mathebuch lautet: Warum gibt es zu einem vorgegebenen Vektor beliebig viele Vektoren, die zu diesem orthogonal sind?
Diese Frage lässt eigentlich darauf schließen, dass ein Vektor unendlich lang ist, oder?
3 Antworten
Nein dieser Schluss ist nicht zulässig. Zuerst einmal ist ein Vektor (im Gegensatz zu der von ihm erzeugten Gerade) nicht unendlich lang. Die Länge eines Vektors (x,y,z) berechnet sich zu:
Dieser Wert ist immer endlich, da x, y und z reelle Zahlen sind.
Es gibt aber immer unendlich viele orthogonale Vektoren zu einem vorgegebenen Vektor, da skalare Vielfache eines orthogonalen Vektors ebenfalls orthogonal sind. Ein orthogonaler Vektor existiert, da z.B. (-y,x,0) orthogonal zu (x,y,z) ist. Berechne dazu das Skalarprodukt.
Falls du alle skalaren Vielfache betrachtest, erhälst du eine Gerade (oder anders ausgedrückt einen eindimensionalen Untervektorraum). Diese ist unendlich lang im Sinne der Anschauung, aber kein Vektor mehr, sondern eben ein Untervektorraum (Menge von Vektoren). Da aber beliebige skalare Vielfache darin enthalten sind, kann immerhin gesagt werden, dass die orthogonalen Vektoren beliebig lang werden können (aber nicht unendlich). Vielleicht hast du ja an sowas gedacht. :D
Ich würde auch ja sagen ;) Das gilt ja für viele Graphen und ähnliche Dinge in der Mathematik auch
Ja das ist richtig
Es war auch mein erster Gedanken, dass Vektoren nicht unendlich lang sind, aber ich habe gar nicht an die Vielfachen gedacht. Vielen Dank für deine Erklärung. :)