Muss bzw. kann ich eventuell den Vektor c so bestimmen, dass die Koeffizienten gleich null sind?
Hallo gemeinsam,
es handelt sich um das Skalarprodukt von Vektoren. Dazu habe ich einige Aufgaben, die mir irgendwie einfach vorkommen, aber wiederum schwer, weswegen ich um Hilfe, Korrektur oder Anregungen bitte.
Bei der 7a) und b) muss ich doch den Vektor c so bestimmen, dass es null ergibt bzw. es orthogonal zueinander ist. Aber muss/ kann ich eventuell den Vektor c so bestimmen, dass die Koeffizienten gleich null sind? Ist das logisch oder eher nicht?
Die Nummer 8 hingeneigt verstehe ich völlig garnicht.
Ich bitte um Hilfe und danke euch im Vorraus!
3 Antworten
Hallo Lena,
häufig kann man einen guten Ansatz erraten, wenn man sich anschaulich vorstellt, wie die beiden Vektoren im Koordinatensystem liegen.
Versuchen wir das mal bei der 7a), wie würdest du ihre Ausrichtungen beschreiben und welcher dritte Vektor wäre zu beiden orthogonal?
Ein Nullvektor ist bei solchen Aufgaben meist ausgeschlossen, sonst wäre er für jedes mögliche Vektorenpaar eine passende Lösung. ;)
Magst du versuchen, die Richtungen bezüglich der Koordinatenachsen oder Koordinatenebenen anzugeben? Zeigt zum Beispiel einer der Vektoren vielleicht sogar entlang einer der Koordinatenachsen?
oh.. das wusste ich nicht :)
Also ich würde sagen (ist bestimmt falsch, da ich mich mit Vektoren schwer tu), dass es sozusagen "auf dem Boden liegt", da die Koordinatenachsen 0 sind (ausser x)
Genau, alle Koordinaten (nicht Koordinatenachsen!) sind 0, außer der x-Koordinate, also zeigt a entlang der x-Achse!
Wie sieht es denn mit Vektor b aus?
Dass es entlang der z- Achse vielleicht verläuft?
Ok, also auch entlang einer Achse, das ist schon mal super! :) Aber warum ausgerechnet entlang der z-Achse?
Ehhmm.. doch nicht.. entlang der y- Achse, da der y- Koeffizient 1 beträgt und die restlichen 0. das heisst, dass es sozusagen in Richtung y- Achse zeigt?
Ganz genau!
Jetzt haben wir also einen Vektor, der entlang der x-Achse zeigt und einen, der entlang der y-Achse zeigt. In welche Richtung muss dann ein Vektor zeigen, der senkrecht auf beide stehen soll?
Entlang der übrigen Achse- in dem Fall der z- Achse :)? (Logisch gesehen, oder?)
So ist es! Kannst du denn Beispiele für solch einen Vektor geben?
Vielleicht die umgekehrte Version der anderen Vektoren? Vielleicht C(0|0|1)?
Genau, das wär ein solcher Vektor, der steht also auf alle Fälle senkrecht auf die beiden anderen! Würde dir noch ein zweites Beispiel einfallen? Er darf ruhig auch mal kürzer oder länger sein! :)
Sehr gut, ist genau richtig! Du kannst jede Zahl (außer Null natürlich) in die z-Komponente schreiben, solange die anderen beiden Komponenten Null sind, wird dein Vektor entlang der z-Achse zeigen.
Dann lass uns dasselbe bei der 7b versuchen! Erkennst du da irgendwas Hilfreiches, das uns Aufschluss über die Ausrichtung der beiden Vektoren geben könnte?
Also wars das mit der Aufgabe a)? Also sollte ich einfach für Vektor c (0|0|10) schreiben mit der Begründung, dass mein Vektor Richtung z- Achse zeigen soll, da es senkrecht auf den beiden anderen Vektoren steht? Ist das eine einfache, gute Begründung? Habe ich das richtig verstanden?
Bei der b sieht es etwas schwerer aus, aber ich würde sagen.. raten.., dass Vektor a entlang der x- Achse läuft und, dass Vektor b genauso? Ich habe es mithilfe des Koordinatensystems mir veranschaulicht.
Zu a): Nun, du kannst ja jetzt, wo du einen Ansatz hast, a*c und b*c berechnen und zeigen, dass da jeweils 0 herauskommt.
Zu b): Hmm, aber a hat doch auch eine y-Komponente, die nicht Null ist, oder? Und b auch.
Das habe Ich soeben ausprobiert und dabei ist null rausgekommen. Ich hoffe ich habe ihren Ansatz richtig verstandem und kann dementsprechend begründen, warum ich so vorgegangen bin.
Zu b) Bei Vektor a befindet sich die Null im z Komponenten, oder? Ansonsten verstehe ich nicht, was Sie meinen. Ich finde die b) ist nicht so "einfach" wie a)
Ja, genau!
Die b) ist ein klein bisschen schwieriger, stimmt! Wenn nun ein Vektor ein bisschen in x-Richtung zeigt und ein bisschen in y-Richtung, aber NICHT in z-Richtung, dann zeigt er vielleicht nicht entlang einer Achse (dafür müssten ja gleich zwei Komponenten Null sein), aber vielleicht liegt er zumindest in einer Koordinatenebene?
Oke, Oke. Ich habe es glaub ich. Beide Vektoren verlaufen entlang der y- Achse. Das heisst, dass unser C Vektor unser z- Komponente eine beliebige Zahl sein kann. Es muss auf jeden Fall sozusagen auf den Vektor a und b "stehen" und ist somit senkrecht, oder? Bitte sagen Sie, ja ist richtig :) ansonsten habe ich es echt nicht verstanden..
Sagen wir, zu 70% richtig. :)
Beide Vektoren liegen in der xy-Ebene (denn sie haben x- und y-Komponenten ungleich Null), nicht entlang der y-Achse. Aber dass reicht uns schon, um zu sagen, dass der Vektor c entlang der z-Achse zeigt (die ja senkrecht auf die xy-Ebene steht), also wie du sagst, die z-Komponente darf eine beliebige Zahl sein, die anderen beiden Komponenten müssen Null sein.
Oke, danke Ihnen. Aber woher wissen Sie, dass beide Vektoren ungleich null sind? Brauchen Sie nicht den Koordinatensystem dafür?
Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstehe. :) Meinst du die beiden Komponenten (x- und y-Komponente) von einem der Vektoren?
Dass die Vektoren ungleich Null sind, sieht man schnell, denn der Nullvektor ist genau (0; 0; 0), sobald eine der Komponenten nicht Null ist, ist auch der Vektor nicht Null.
Ja, genau. Also Sie haben im ersten Satz ihrer vorherigen Antwort gesagt, dass beide Vektoren in der xy- Ebene liegt. Woher wissen Sie das? Und woher wissen Sie, dass es ungleich null ist? Einfach an dem Punkt abgelesen?
Nun, wenn man um 3 entlang der x-Achse läuft, sitzt man auf der x-Achse. Wenn man von dort aus noch um 2 entlang der y-Achse läuft, sitzt man zwar nicht mehr auf der x-Achse, aber immerhin ist man ja nicht nach oben (in z-Richtung) gelaufen, also sitzt man noch in der xy-Ebene.
Ahhh, oke. Ich bedanke mich bei Ihnen.
Ich habe es jetzt so verstanden, dass die Z Komponente eine beliebige Zahl annehmen darf und soll, und soll entlang der Z Achse zeigen. Die beiden anderen Komponenten müssen gleich null sein, da beide Vektoren in der XY Ebene liegen. Im ganzen, sollte Vektor C senkrecht auf den Vektoren a und b stehen und sollte somit orthogonal beziehungsweise null ergeben. Richtige Erklärung? :)
Und, wenn ich noch fragen darf: Wie ist es mit der Aufgabe 8? Sollte ich die in den Klammern stehenden Buchstaben und Zahlen miteinander multiplizieren?
Ja, das klingt ziemlich gut! Der beste Beweis ist aber auch hier wieder eine kurze Rechnung, in der du zeigst, dass a*c=0 und auch b*c=0 ist.
Bei Aufgabe 8 würde ich a=(a1, a2, a3) und b=(b1,b2,b3) setzen und nachrechnen, was da rauskommt.
Wie meinen Sie das? Hängt die Aufgabe 7 mit der 8 zusammen?
Nun, in beiden geht es um das Skalarprodukt, ansonsten nicht.
Ok. Und was meinen Sie dann mit a1, a2, und a3? Woher kommen diese und was soll ich denn genaue mit den anfangen? :)
Du, es wird spät, ich muss mich für heute ausklinken. Wir können das morgen zu Ende besprechen, ok? :)
Gern. Brauche es für morgen schon. Aber nach 13Uhr müsste es gehen, denn ohne es zu verstehen, kann ich nichzs aufschreiben. Danke Ihnen.
Der Nullvektor ist senkrecht zu jedem Vektor, Frage ist, ob das als Lösung gemeint ist.
8 Berechne einfach mal das Skalarprodukt!
Der Nullvektor ist senkrecht zu jedem Vektor.
Das hätte ich mich im Matheunterricht getraut. Dem Fragesteller würde ich das aber nicht empfehlen ;-)
Danke. Was meinen Sie mit dem Nullvektor? Wir haben dieses nicht im Unterricht besprochen. Und, um auf ihre Frage zurückzugreifen: ja, das ist meine Lösung. Wie gesagt, weiss ich nicht ob diese stimmt und frage hier deshalb nach. Und bei der Aufgabe 4: Sollte ich nach Ihrer Meinung, die in Klammern stehenden Zahlen miteinander multiplizieren? Wie es bei der Skalarproduktrechnung aussieht? Oder was soll Ich darunter verstehen?
7)
Vektor c soll senkrecht auf a und b stehen. Da bietet sich das Kreuzprodukt von a und b an.
8)
r * Vektor(a) + s * Vektor(b) = r * s * Vektor(a) * Vektor(b) = r * s * 0 = 0.
Ich danke Ihnen für Ihre Antwort. Aber was ist genau ein Kreuzprodukt? Denn wir haben es nicht im Unterricht behandelt.
Ohne das Wissen über das Kreuzprodukt sollte man keine Schüler mit solchen Aufgaben quälen ;-)
Also versuchen wir es mit der b)
3*c1 + 2*c2 + 0*c3 = 0
3*c1 + 1*c2 + 0*c3 = 0
Subtraktion ergibt
c2 = 0
Einsetzen in eine der beiden Gleichungen ergibt c1 = 0.
Also ist der gesuchte Vektor (0; 0; c3), wobei der Wert von c3 egal ist.
Bitte nicht c3 = 0 wählen, das wäre zwar auch richtig (Nullvektor), könnte aber Ärger mit dem Mathelehrer geben.
Also z.B. c = (0; 0; 1)
Ich danke Ihnen für diese ausführliche Erklärung und Antwort. Aber ich habe die Nummer 8 nicht gänzlich verstehen können. Wie sind Sie darauf gekommen?
Sei Vektor(a) = (a1; a2; a3) und Vektor(b) = (b1; b2; b3)
Dann ist Vektor(r*a) = (r*a1; r*a2; r*a3)
und Vektor(s*b) = (s*b1; s*b2; s*b3).
Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist r*a1*s*b1 + r*a2*s*b2 + r*a3*s*b3.
Ausklammern von r*s ergibt r*s*(a1*b1 + a2*b2 + a3*b3).
Es ist bekannt, dass a1*b1 + a2*b2 + a3*b3 = 0. (Skalarprodukt der Vektoren a und b). Dann ist auch r*s*(a1*b1 + a2*b2 + a3*b3) = 0.
danke für ihre schnelle Antwort. Naja, ich habe keine Vorstellungskraft, was Vektoren angeht, dennoch würde ich sagen, dass sie ins positive verläuft? Und würde dementsprechend c so bestimmen, dass ich überall null stehen habe. Denn wenn ich die miteinander multiplizieren würde, dann käme 0 als Ergebnis.