Ist der Berglöwe eher mit dem afrikanischen Löwen verwandt oder ist das ein anderes Wort für Puma oder Cougar?

Berglöwe ist einer von unzähligen Trivialnamen für den Puma (Puma concolor). Andere sind Cougar, Kuguar, Rottiger, Silberlöwe, Panther uvm.

Der Puma gehört zu den Kleinkatzen (Felini), während der Löwe (Panthera leo) eine Großkatze (Pantherini) ist. Der Puma gehört innerhalb der Kleinkatzen in die Puma-Linie (Li et al. 2016). Sein engster lebender Verwandter ist der Jaguarundi (Puma yagouaroundi), auch Wieselkatze genannt (manchmal in eine eigene Gattung, Herpailurus, gestellt). Beide Arten kommen ausschließlich in Amerika vor. Als dritte Art gehört der Gepard (Acinonyx jubatus) zur Puma-Linie. Es gibt noch einige weitere fossile Arten, die ausgestorben sind, z. B. den Amerikanischen Geparden (Gattung Miracinonyx), der aber wahrscheinlich enger mit dem Puma als mit dem echten Gepard verwandt war (Barnett et al. 2005).

… oder ist das ein anderes Wort für Puma oder Cougar?

Kann man ganz einfach selber nachlesen, indem man einfach mal den Artikel zum Puma auf Wikipedia liest...

Hier, bitte: Puma

Zitat:

Der  Puma ( Puma concolor) ist nach dem Jaguar die zweitgrößte Art der Katzen (Felidae) in Amerika. ^[1] Unter den Kleinkatzen wird sie als deren größte Art weltweit angesehen. Der Puma ist in weiten Teilen Nord-, Mittel- und Südamerikas verbreitet und dort unter zahlreichen weiteren Namen bekannt; für viele davon gibt es auch im Deutschen eine Entsprechung:  Silberlöwe,  Berglöwe oder  Kuguar (englisch  cougar, aus französisch  couguar). In den Vereinigten Staaten wird er auch  panther genannt, ein Name, der im Deutschen hauptsächlich für Schwarze Panther, das heißt Leoparden und Jaguare mit Melanismus, verwendet wird. Der Name  Puma ist dem Quechua entlehnt.

Der Berglöwe=Puma=Cougar ist mit dem Geparden verwandt. Er gehört zu den Kleinkatzen, was aber nicht bedeutet, dass er klein ist. Die Kleinkatzen sind einfach die Gegengruppe zu den Großkatzen mit der Gattung Panthera (Löwe, Tiger, Leopard, Jaguar und Schneeleopard) und den Nebelpardern.