Inwiefern zeigt dieser Beweis, dass ich einen Isomorphismus habe?
Also ich verstehe die Schritte im Beweis, ich verstehe nur nicht, warum das jetzt zeigt, dass f^-1 auch bijektiv sei?
Wobei, ich glaube das zeigt einfach, dass f(a) auf c abbildet und f(b) auf d UND das nun ganz deutlich
2 Antworten
Also ich verstehe die Schritte im Beweis, ich verstehe nur nicht, warum das jetzt zeigt, dass f^-1 auch bijektiv sei?
Das wird hier nicht gezeigt, dass die Umkehrfunktion bijektiv ist, folgt direkt daraus dass f bijektiv ist. Es wird hier gezeigt, dass f^-1 ein Isomorphismus ist.
Nur am Rande:
Wenn du eine Erklärung zu einem Beweis haben willst, solltest du auch die AUSSAGE anhängen, die bewiesen werden soll, da sonst der Kontext fehlt.
Ist es immer so, dass wenn f ein Gruppenhomomorphismus ist, dass f^-1 auch einer ist?
Ja genau deshalb, aber dachte vielleicht gehts auch anders, wenn f nicht bijektiv ist.
Wenn f nicht bijektiv ist, was wäre denn dann f<-1? Macht dann die Frage, ob dann f^-1 ein Homomorphismus ist, überhaupt einen Sinn?
Ach die Umkehrfunktion wäre dann keine Funktion mehr, stimmt. Bzw. nicht wohl definiert.
Die Aussage, dass eine gegebene Abbildung g ein Gruppenisomorphismus ist, lässt sich in zwei Teile zerlegen:
- g ist ein Gruppenhomomorphismus.
- g ist bijektiv.
Hier wird die erste Aussage gezeigt, nämlich, dass auch f^-1 ein Homomorphismus ist. Die zweite Aussage folgt bereits daraus, dass die Umkehrfunktion einer bijektiven Abbildung ebenfalls wieder bijektiv ist - und das hat man in der Regel schon lange vorher gezeigt, als man sich nämlich mit den Begriffen bijektiv, injektiv und surjektiv beschäftigt hat.
Achso. Aber ist es nicht immer so, dass wenn f ein Gruppenhomomorphismus ist, dass auch f^-1 einer ist.
JA. ABER AUCH DAS MUSS MAN BEWEISEN. UND DAS PASSIERT HIER.
Es sollte bewiesen werden, dass wenn f ein Isomorphismus ist, dass auch f^-1 einer ist. Aber Isomorphismus ist doch einfach Gruppenhomomorphismus der Bijektiv ist? Dachte die zeigen so die Bijektivität.
Weil wenn f ein Gruppenhomomorphismus ist, ist f^-1 ja auch einer automatisch oder?