Integralrechnung: Un und On von der Funktion f(x) = x + 1, berechnen!
Hallo Leute,
Ich wollte ein paar Aufgaben rechnen , da wir das Thema grade in der Schule haben und dabei bin ich auf ein Problem gestoßen. Es geht um folgende Aufgabe:
Berechnen Sie Un und On für die Funktion f über dem Intervall I.
Die Funktion lautet: f(x) = x + 1, I= [0:1]
Benötigte Summenformel: 1 + 2 + .... + n = (n(n+1))/2
Ich habe schonmal angefangen, komme aber nich auf den vorderern Teil der Summenformel:
On = 1/n * [((1/n)+1) + ((2/n)+1)..... + (n/n)+1]
Dann habe ich (1/n) ausgeklammert:
On = 1/n² * [(1+n) + (2+n) + ..... + (n+n)]
Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt, oder wie ich nun weiter machen muss?
GLG
3 Antworten
Ich schrieb mal das, was mathegeek007 geschrieben hat in einer für sich vielleicht verständlicheren Schreibweise:
Du hast:
On = 1/n² * [(1+n) + (2+n) + ..... + (n+n)]
Jetzt haben wir in der großen Klaemmmer ja einen Haufen "keliner" Klammern, weil das alles Plus-Klammern sind darf man die ja einfach weglassen. Also:
On = 1/n² * [1+n + 2+n + ..... + n+n]
Damit haben wir nur noch Additionen in der Klammer. Diese können wir ja umsortieren, und zwar schreiben wir einfach immer das "+n" ganz nach hinten, während die 1, 2 usw alle nach voren kommen. Zur besseren Übersichtlichkeit hab ich hier mal KLammern um die zwei Teile gesetzt:
On = 1/n² * [(1+2+3+4+...+n)+ (n+n+n+n+...+n)]
Die erste Klammer sollte dir bekannt vorkommen, das ist die oben von dir schon genannte Summenformel. Also: (1+2+3+4+...+n)=(n(n+1))/2=n²/2+n/2
Die zweite Klammer ist ja einfach die Additoin von n und zwar das ganze n-mal, also "n mal n": (n+n+n+n+...+n)=n* n=n²
Insgesamt also:
On = 1/n² * [n²/2+n/2+ n²]
Und jetzt nur noch vereinfachen:
On = 1/n² * [n²* 3/2+n/2]=3/2+1/(2* n)
On = 1/n² * [n²/2+n/2+ n²]
= n²/2n² + n/2n² + n² /n²
= 1/2 + 1/2n + 1 = 3/2 + 1/2n
Da der Lösungsweg hier meinem obigen eigentlich komplett gleicht, schreibe ich oben keine weiterführende Antwort mehr aus :-)
Geh erstmal bisschen raus bei dem schönen Wetter. Hast dir anscheinend verdient ;-)
Danke ihr seit echt Klasse :D
Ja ich war jetzt erstmal bei meiner Pferdchen und hab jetzt schon wieder eine Aufgabe lösen können xD
Vielen Dank An euch alle!
On = 1/n² * [(1+n) + (2+n) + ..... + (n+n)]
Innerhalb der eckigen Klammern hast du doch n runde Klammern. In jeder davon taucht ein n auf. Also gilt:
On = 1/n² + [ n² + (n(n+1))/2]
On = 1 + 1/n² * [ (n(n+1))/2] = 1 + (n² + n) / (2 n²) = 1 + 1/2 * (n + 1) / (n)
On = 1 + 1/2 * (n + 1) / (n)
Hier kannst du jetzt den Grenzwert von n gegen Unendlich machen. Weil (n + 1) / (n) natürlich gegen 1 geht, kommt man dann auf
On = 1 + 1/2 * (n + 1) / (n) = 1,5
Jetzt hast du deine Integralfläche.
Ich hoffe, dass war jetzt langsam genug und verständlich.
LG, Balu
Hmh... ich versteh nicht wo bei
"On = 1 + 1/n² * [ (n(n+1))/2] = 1 + (n² + n) / (2 n²) = 1 + 1/2 * (n + 1) / (n)"
Plötzlich vorne die 1 herkommt... Sry... Leute, aber ich glaube mein Kopf ist einfach zu voll von Mathe im Moment. Ich hab gestern insgesamt 4 Stunen an Mathe gesessen, weil wir ja auch noch zahlreiche andere Hausaufgaben aufhaben. Also normalerweise habe ixh 13 Punkte in Mathe.....
Hallo!
Du solltest mal deine Summe O_n zusammenfassen:
O_n=1/n * ( S (k/n+1))=1/n * (1/n S k + n)=1/n (n(n+1)/2 + n)=(n+1)/2 +1
Das "S" steht für das große Summenzeichen, also Sigma und das kleine "k" durchläuft den Index von 1 bis n.
MFG
Also wenn du schon mit dem Summenoperator (der hier wohl eher verwirrend ist) rechnen willst, dann aber bitte so:
On = 1/n² * S(k+n) = 1/n² * n² + 1/n * S (k) = 1 + (n(n+1))/2n² = 1 + 1/2 + 1/2n
Geht für n ---> oo dann auch gegen 1,5
Auf diesem Weg verstehe ich leider nur Bahnhof xD
Hallo! Danke! Du hast mir mit deiner Antwort super geholfen und ich habe es jetzt soweit verstanden! Allerdings.... Ich verstehe nicht wie du beim letzten Schritt auf die 3/2 kommst....
"Sry... Leute, aber ich glaube mein Kopf ist einfach zu voll von Mathe im Moment. Ich hab gestern insgesamt 4 Stunen an Mathe gesessen, weil wir ja auch noch zahlreiche andere Hausaufgaben aufhaben. Also normalerweise habe ixh 13 Punkte in Mathe....."