In einen 5x5 Quadrat soll man eine Überdeckung machen mit genau 8 kleineren Quadraten, wie groß müssen die kleinen Quadrate sein?

7 Antworten

3,75x3,75 Quadrat und
1,25x1,25 Qudrate

Das 3,75x3,75 Quadrat hat eine Fläche von 14,0625 und wird in eine Ecke des großen Quadrats gelegt.
Die ander 7 1,25x1,25 Qudrate werden an den Seiten entlang gelegt und haben jeweils eine Fläche von 1,5625.

Die Seitenlängen des zusammen-gestückelten Quadrats:
3,75 + 1,25 entsprechen dem Original-Quadrat :-)

Rechenweg: 4a = 5 => a = 1,25
b = 5-a  => b = 3,75

Wie genau ist die Überdeckung gemeint? Weil normalerweise bedeutet das, dass du die 8 Quadrate irgendwie anordnest, sodass das 5x5 Quadrat darin enthalten ist (wobei auch ein Rand überstehen dürfte).
Oder ist es so gemeint, dass du einfach ein großes Quadrat in 8 (gleich große?) Quadrate zerlegst?
Wenn sie nicht gleich groß sein müssen, würde ich in einer Ecke ein 3,75x3,75 Quadrat machen, an 2 Seiten 3 1,25x1,25 Quadrate anhängen und in die letzte Lücke auch noch ein 1,25x1,25 Quadrat (zeichne dir das am besten auf um das nachzuvollziehen).

Das dürfte nicht gehen, da 8 keine Quadratzahl ist. Du könntest ein Quadrat höchstens mit 4, 9, 16, ... Miniquadraten gleicher Größe auslegen.

Oder dürfen die Miniquadrate unterschiedlich groß sein? :/
Wäre trotzdem eine Herausforderung.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik

Ich denke, dass das schon geht (siehe meine Antwort). Oder hab ich da nen Denkfehler drin?

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@ich313313

Nein, das geht nicht. Du musst ja nicht nur die passende
Größe, sondern auch die passende Anordnung haben.
Wie willst du die kleinen denn legen, so dass
sie das große abdecken?

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@Tannibi

Wenn man jetzt das Ganze sehr kleinkariert betrachten würde, würde es doch für eine Überdeckung ausreichen, wenn die kleinen Quadrate in einer (oder mehreren) Anordnung das 5x5-Quadrat vollständig überdecken, d. h. die Fläche darf auch größer sein. Dann wäre die Lösung aber so einfach, dass ich nicht glaube, dass dies gemeint ist. Man mache einfach einen Riegel mit 4x4-Quadraten:

4 4
4 4
4 4
4 4

Das 5x5-Quadrat kann darunter geschoben werden, sodass es vollständig überdeckt wird.

Da die Aufgabe ein Witz wäre, wenn die Lösung gleich "keine Lösung" oder "nahezu beliebig" lautete, würde ich darauf tippen, dass ich#s Antwort doch zu bevorzugen ist.

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Kleinere Quadrate haben die Fläche 4x4=16, 3x3=9, 2x2=4, 1x1=1. Es muss also gelten

1a + 4b + 9c + 16d = 25

a+b+c+d = 8

d muss 0 sein, ansonsten gibt es keine Lösung.

1a + 4b + 9c = 25

a+b+c = 8

Daraus folgt

3b+8c = 17

Hat als ganzzahlige Lösung nur b=3 und c=1. Die Lösung lautet also

1 * 3x3 (c)

3 * 2x2 (b)

 4 * 1x1 (a)

Gut!
Ist aber nicht die einzige Lösung!
Meine Lösung (s. meine Antwort) passt ebenfalls ;-)

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@Rubezahl2000

Stimmt schon, die Aufgabenstellung ist halt wieder mal unterirdisch. Weil da "5x5" Quadrat steht, nehme ich an, dass es sich um ganze Zahlen handeln muss.

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Die Probe ergibt mehrere Möglichkeiten, diese Quadrate auf das 5x5-Quadrat zu legen.

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Flächeninhalt großes Quadrat: 5*5 = 25

Flächeninhalt kleines Quadrat: 25:8 = 3,125

d.h. die kleinen Quadrate müssen einen FE von 3,125 haben.

Seitenlänge kleines Quadrat:

Wurzel aus 3,125 = 1,767766953

Die Seiten der 8 Quadrate sind 1,767766953 lang.


Probe: 8* (1,767766953*1,767766953) = 25

25 = 25

d.h. die Flächen der acht kleinen Quadrate mit der Seitenlänge 1,767766953 ergeben zusammen die Fläche des großen Quadrats.

Auch wenn die Fläche passt löst dies nicht das Problem, wie sie angeordnet werden müssen, sodass eine Überdeckung stattfindet.

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@Suboptimierer

okay, das hab ich nicht beachtet. Du hast recht. Es gibt also doch nen Haken an der Sache. Wär zu einfach gewesen^^

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Diese 8 Quadrate haben dann zwar in Summe denselben Flächeninhalt, aber wie willst du die hinlegen, so dass sie genau das große Quadrat abdecken?

Außerdem war ja nicht verlangt, dass die 8 kleinen Quadrate alle gleich groß sein müssen ;-)

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