In eine Kugel mit Radius r = 5 cm wird eine gerade quadratische Doppelpyramide einbeschrieben (vgl. Skizze)?

Wie groß ist der Anteil des Volumens der Doppelpyramide an dem des Kugelvolumens? Rechnen Sie mit den exakten Werten und runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

Kugelvolumen in cm3=?

Volumen der Doppelpyramide in cm3=?

Volumen-Anteil in %=?

Answer 1

[indiachinacook]

Schnellverfahren: Die Doppelpyramide ist ein regelmäßiges Okta­eder. Ihre Grund­fläche ist ein Quadrat, also ist ihre Fläche (so wie bei allen Vierecken mit auf­ein­an­der normal stehenden Diagonalen) das halbe Produkt der Diagonalen A=(2r)²/2=2r², das multiplizieren wir noch mit ⅔r (⅓r in jede Richtung) fürs Volumen und bekommen V₁ = ⅔rA = 4r³/3.

Das Volumen der Kugel ist natürlich V₂=4πr³/3, und der Anteil der Pyramide am Kugel­volumen ist V₁/V₂ = 1/π = 31.8%

Answer 2

[Halbrecht]

pyramide

Seite a aus Pythagoras

a² = r² + r²

a = wurzel(50) 

.

somit ist die Grundfläche w(50)*w(50) = praktische 50 cm² groß 

höhe ist r 

.

2 * ( 1/3 * 5 * 50 ) = 500/3

.