Ich verstehe f'(x)=0, f''(x) nicht?
Man macht schreibt das doch immer, um die nullstellen herauszufinden, aber warum muss f'(x) und f''(x) =0 sein damit es ein sattelpunkt oder einen wendepunkt haben kann? Versteht ihr mich?
5 Antworten
f'(x)=0: wagrechte Tangente
f''(x)=0 und f'''(x) ungleich 0: Wendestelle bei x
f''(x)=0 und f'(x)=0 ist eine Wendestelle mit waagrechter Tangente, auch Sattelpunkt genannt
f'(x) ist die Steigung von f(x) somit ist wenn f'(x)=0 die Steigung von f(x) "Null". Wo die Steigung "Null" ist, ist eine Extremstelle (Maximum, Minimum, Sattelpunkt.
Nun brechne ich f''(x) ...das ist die Änderung der Steigung (in der Physik oft die Beschleunigung).
Kennt man eine Extremstelle an der Stelle x, so handelt es sich um einen Maximum, wenn f''(x) < 0 ist, um einen Minimum, wenn f''(x) > 0 ist und möglicherweise um einen Sattelpunkt, wenn f''(x) = 0 ist.
Nun brechne ich f''(x) ...das ist die Änderung der Steigung (in der Physik oft die Beschleunigung).
Bsp:
f(x)= x², dann f'(x)= 2x und f''(x)=0
Die Parabel steigt also mit 2x. Die Steigung ändert sich nicht, denn f''(x) ist eine Konstante.
Wendepunkte sind Punkte extremer Steigung. f' muss also ein Extremum haben, die Steigung der Steigung (f'') muss also 0 sein.
f'(x)=0 bedeutet einen Extremwert
f''(x)=0 und f'''(x) != 0 bedeutet Wendepunkt.
Ein Wendepunkt der Gleichzeit Extremwert ist, ist ein Sattelpunkt.
Edit:
Wie andere angemerkt haben zählt der Sattelpunkt nicht zu den Extremwerten womit f'(x)=0 und f"(x) != 0 gelten muss damit es ein Extremwert ist.
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt bei dem zusätzlich f'(x)=0 gilt.
Ja und nein kommt jetzt drauf an ob man den Sattelpunkt als Extremwert dazu nimmt oder nicht.
Es ist hald weder ein lokales Minimum oder Maximum.
eigentlich ist es kein Extremwert
Wie im letzten Satz richtig beschrieben, ist es weder ein lokales Minimum noch Maximum
Ein Sattelpunkt ist Extrempunkt von f', aber nicht von f.
Wie gesagt wir haben den Sattelpunkt dazu gezählt weil wir den Extremwert einfach nur durch die Nullstelle von f' charakterisiert haben.
Er ist kein lokales Maximum oder Minimum aber nach der Definition trotzdem ein Extremwert.
Richtig wir haben ihn zu den Extrempunkten dazu gezählt aber er ist hald kein Maximum oder Minimum.
Aber laut Wikipedia zählt man ihn nicht dazu richtig.
Aber sicher kein Extremwert von f. Dazu dürften in einer Umgebung keine größeren bzw. kleineren Funktionswerte auftauchen. Dementsprechend nutzt man ja zum Nachweis f'' ungleich null oder (aussagekräftiger) den Vorzeichenwechsel von f'.
Ja ich weiß ich hab den Wikiartikel auch gelesen unser Matheprof an der Uni war diesbezüglich aber recht eigen weil er das Wort Extremwert strickt von Maximum und Minimum unterschieden hat.
Er hat beide natürlich zu den Extremwerten gezählt, aber er hat den Extremwert als ausgezeichneten Punkt in der Steigung von f definiert. Daher auch die Aussage ein Sattelpunkt ist eine Extremstelle die gleichzeit Wendepunkt ist.
Bei meinen Schülern hätte ich eben so eine Argumentation nicht akzeptiert. Es ist für mich ein schönes Beispiel, dass "impliziert" nicht gleichbedeutend mit "äquivalent" ist.
Sattelpunkt als Extrempunkt von f' ist eindeutig.
Ja das ist eindeutig aber auch die Definition von meinem Prof ist eindeutig wenn man seine Definition von Extrempunkt kennt.
Ist hald auch wichtig in der Literatur die Definitionen zu lesen denn in einigen Büchern werden teilweise abweichende Definitionen verwendet, was in diesem Bereich auch vollkommen in Ordnung ist.
Wenn hald die Definition von Extremwert von f einfach nur f'=0 ist dann ists eindeutig dass es ein Maximum ist wenn f''<0 ein Minimum bei f''>0 und ein Sattelpunkt beim Vorzeichenwechsel von f" und eben nach dieser Definition jeder dieser Punkte eine Extremstelle ist.
Aber ich stimme schon zu, dass man es zumindest im Schulwesen vereinheitlichen sollte.
Wikipedia hab ich nur angegeben, weil das direkt zugänglich ist. Die Definition von deinem Prof finde ich merkwürdig. Gerade in Mathematik sollten allgemeine Definitionen gelten, und diese ist mir noch nicht untergekommen.
Naja es gibt immer mal wieder leicht abweichende Definitionen auch in der Mathematik. Die Professoren die die Bücher verfassen haben entweder einfach eine leicht abweichende Ansicht oder haben einen speziellen Grund dafür.
Die Fouriertransformation gibts zB auch mit dem Skalierungsfaktor 1/sqrt(2pi)^n und ohne diesem Faktor, es kommt immer drauf an wo und wozu man sie verwendet und welche Definition im jeweiligen Buch verwendet wird.
Ist wohl so, ich hatte auch nur im Blick, dass der Fragesteller (ja wohl Schüler) nicht Informationen bekommt, die ihm im Unterricht Probleme bereiten.
Ja ist auch komplett legitim. Da es Anscheinend nicht die gängigste Definition ist werde ich dann auch die Antwort entsprechend anpassen. Jedenfalls danke für den Hinweis und das Gespräch ;)
Ein Wendepunkt der Gleichzeit Extremwert ist, ist ein Sattelpunkt.
Das finde ich missverständlich.
wenn du dir klar machst, WAS die "Ableitung" einer Funktion ist (-> Steigung an einer bestimmten Stelle), dann solltest du die Antwort auf deine Frage selbst herbei führen können. Übrigens: auch die Ableitung einer Funktion stellt ihrerseits wieder eine Funktion dar...
Extremwert aber nur, wenn erste Ableitung gleich null und zweite Ableitung ungleich 0