Ich brauche Hilfe bei einer Matheaufgabe?
Die Abbildung zeigt den Querschnitt einesGeländeverlaufs. In einem Koordinatensystemkann dieser durch den Graphen der Funktion fmit f(x) = - 1/8 * x ^ 3 + 3/4 * x ^ 2 - 4 für - 3 <= x <= 4 unddurch eine waagerechte Gerade für x > 4näherungsweise dargestellt werden (eineEinheit entspricht 100 m). Ein Ballon bewegtsich in konstanter Höhe 200 m über der Ebenein negativer x-Richtung. Berechnen Sie imModell die Koordinaten des Punktes auf derBallonbahn, von dem aus man erstmals dentiefsten Punkt des Tals sehen kann.
2 Antworten
Überlege Dir zunächst geometrisch, was es bedeutet, den tiefsten Punkt des Tals vom Ballon aus zu sehen.
Der tiefste Punkt des Tals ist der Tiefpunkt von f, den Du anhand der Ableitung der Funktion ermitteln kannst.
Wenn die Gerade vom Ballon zum Tiefpunkt den Graphen der Funktion berührt, dann ist der Tiefpunkt sichtbar. Diese Gerade ist eine Tangente an f.
Der Berührungspunkt ist ein gemeinsamer Punkt von f und der Geraden (1. Gleichung) und die Steigung von f im Berührungspunkt ist die Steigung der Geraden (2. Gleichung).
Der Tiefpunkt ist ein gemeinsamer Punkt von f und der Geraden. Mithilfe dieses Punktes kann die Geradengleichung aufgestellt werden.
Unbekannte sind der x-Wert des Berührpunktes und die Steigung in diesem Punkt.
2 Gleichungen, 2 Unbekannte.
Das ist lösbar.
Gesucht ist eine Tangente an den Geländeverlauf, die durch den Talpunkt geht (hat man die Tangentengleichung, muss man lediglich noch mit t(x) = 2 den zugehörigen x-Wert bestimmen):
Die Tangentengleichung hat die Form (da sie durch den tiefsten Geländepunkt gehen soll):
Nun gibt es noch 2 Bedingungen für den Berührungspunkt von Tangente und Geländeprofil:
Einsetzen von (1) in (2) liefert:
Das rechne ich jetzt nicht weiter vor und teile nur mit, dass die hier interessierende Lösung x = 3 ist und der Berührungspunkt bei T(3 | f(3)) liegt
Damit lässt sich die Steigung der Tangente zu
berechnen.
Die Tangentengleichung lautet also:
Letzter Schritt:
Der Ballon sieht also den Talgrund erstmals, wenn er sich bei B(16/3 | 2) befindet.
Skizze:
