Herleitung pq-Formel?

Hi,

kann wer die pq-Formel herleiten?

Answer 1

[SlowPhil]

Hallo diecooleperson1,

üblicherweise wird das mit der quadratischen Ergänzung gemacht, ich versuch's hier aber mit dem Koeffizientenvergleich. Zunächst die Scheitelpunktform:

(1.1) x² + px + q = (x − xₛ)² + yₛ

Reelle Nullstellen gibt es nur, wenn yₛ negativ ist, denn es ist

(1.2) (x − xₛ)² = −yₛ
(1.3) x − xₛ = ±√{−yₛ}

und schließlich

(1.4) x = xₛ ± √{−yₛ}

Um den Koeffizientenvergleich durchzuführen, gehe ich wie folgt vor:

Klammer auflösen und x² auf beiden Seiten weglassen:

(2.1) px + q = −2xxₛ + xₛ² + yₛ

Daraus folgt direkt

(2.2) xₛ = −½p
(2.3) yₛ = q − xₛ² = q − ¼p².

Wenn wir dies in (1.4) einsetzen, erhalten wir

(3) x = −½p ± √{¼p² − q}.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[ThelittlesacxX]

Hi, wieso folgt aus Schritt 2.1 direkt Schritt 2.2? Bitte schnell Antworten:)

[SlowPhil]

@ThelittlesacxX

Weil beides die Vorfaktoren von x¹=x sind. Die beiden Ausdrücke sollen ja identifiziert werden, also müssen die Vorfaktoren zu jeder Potenz von x identisch sein.

Answer 2

[LindorNuss]

Das geht mit der quadratischen Ergänzung - übersteigt aber den Formeleditor hier.

Comments

[SlowPhil]

Wieso das?

[Mathetrainer]

@LindorNuss

Wie du am Beitrag von max32168 siehst, übersteigt das keineswegs den zugegeben mickrigen LaTex-Editor von gutefrage.

[LindorNuss]

@Mathetrainer

War mir zu viel Arbeit, hätte man auch googlen können.

Answer 3

[mihisu]

Man kann die Gleichung allgemein mit Hilfe von quadratischer Ergänzung auflösen.

Siehe beispielsweise: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#Herleitung_der_p-q-Formel

Answer 4

[max32168]

Google ist wohl kaputt?

$x^2+p\ x+q=0$ $x^2+p\ x=-q$ $x^2+p\ x+\frac{p^2}{4}=-q+\frac{p^2}{4}$ $\left(x+\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2}{4}-q$ $x+\frac{p}{2}=\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$ $x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$

Answer 5

[Volens]

Nach der großen Überraschung in der 8. Klasse kann das eigentlich dann jeder.

 x² + px                    + q = 0  | quadr. Erg.
(x² + px + (p/2)²) - (p/2)² + q = 0  | binomische F.

((x + p/2)²    = (p/2)² - q          | √
  x + p/2      = ±√((p/2)² - q)      | -p/2
  x            = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb