Herleitung der Bernoulli Formel?
Es geht um Stochastik, kann mir jemand die herleitung der Bernoulli Formel verraten?
Danke im voraus
1 Antwort
Die Bernoulli-Formel lautet P(X=k)=(n über k) * p^k * (1-p)^(n-k). Diese kann benutzt werden, wenn es sich um eine binomialverteilte "Versuchsreihe" handelt, d. h. es als Ergebnis nur 2 Möglichkeiten gibt: "Treffer/Erfolg" mit der (Erfolgs-)Wahrscheinlichkeit p und "kein Treffer/Mißerfolg" mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1-p (oft auch q genannt).
Mit dieser Formel errechnet man die Wahrscheinlichkeit genau k Treffer zu erzielen.
Würde man das mit einem Baumdiagramm lösen wollen (welches natürlich bei vielen Wiederholungen "extremst" groß werden würde), dann müsste man alle Pfade raussuchen, die genau die gewünschten k Treffer beinhalten und diese addieren. Das Produkt p^k * (1-p)^(n-k) ist genau die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade. Nun muß man noch "rausfinden", wieviele Pfade insgesamt in Frage kommen, und das ist (n über k). Denn um k Elemente (Treffer) unter n Elemente (Gesamtzahl Versuche/Wiederholungen) zu verteilen, gibt es (n über k) Möglichkeiten.
Dass die einzelnen in Frage kommenden Pfade alle dieselbe Wahrscheinlichkeit haben ist auch klar; die einzelnben Faktoren stehen nur an anderen Stellen!
Beispiel: 1 Treffer bei 4 Versuchen - in Frage kommenden Pfade (pqqq, qpqq, qqpq, qqqp)
