Hilfe bei Polynomdivision mit Rest?

7 Antworten

Du musst durch (x-4) teilen. Immer das Vorzeichen umdrehen.

Bei x+4 = 0 wäre die Nullstelle bei x = -4.

Wenn die Nullstelle x1 = +4 ist musst du durch (x-4) dividieren.

(-1/8x³ + 3/4x² -4) : (x-4) = -1/8x² + 1/4x + 1

MNF: x2 = -2 und x3 = 4

Gegeben sei die Funktion f mit

f(x) = -1/8 x³ + 3/4 x² - 4.

Gesucht sind die Nullstellen von f.

f(x) = 0,

0 = -1/8 x³ + 3/4 x² - 4 ... || * (-8)

0 = x³ - 6 x² + 32.

Es ist 4³ - 6 * 4² + 32 = 64 - 96 + 32 = 0, also

ist x = 4 eine Nullstelle von f.

Damit haben wir den ersten Linearfaktor gefunden: ( x - 4 ).

Der Term 

x³ - 6 x² + 32

soll nun so dargestellt werden, dass man ( x - 4 ) ausklammern kann.

Es ist x³ - 6 x² + 32 = x³ - 4 x² - 2 x² + 8 x - 8 x + 32 =

x² ( x - 4 ) - 2 x ( x - 4 ) - 8 ( x - 4 ) =

( x² - 2 x - 8 ) ( x - 4 ).

f(x) = 0,

0 = -1/8 ( x² - 2 x - 8 ) ( x - 4 ).

Ziel ist es jetzt nur noch eine Faktorisierung für 

( x² - 2 x - 8 )

zu finden.

Nach dem Satz von Vieta gilt

( x² - 2 x - 8 ) = ( x - 4 ) ( x + 2 ).

Also lässt sich die Funktion schreiben als

f(x) = -1/8 ( x - 4 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) =

-1/8 ( x - 4 )² ( x + 2).

Somit gibt es die einfache Nullstelle x = -2 und die doppelte Nullstelle x = 4.

Es wird beim Ausprobieren bleiben bei Funktionen 3. Grades oder zu ganz anderen Lösungswegen!

Um sich die Polynomdivision bequem zu machen, ist der erste Akt:
weg mit der Vorzahl von x³.
Das bedeutet: Multiplikation mit (-8). Das kann man auch, denn rechts steht Null.

x³ - 6x² + 32 = 0

Wenn man mit den kleinen Lösungen anfängt, landet man als erstes bei -2 als Lösung. Das ergibt den Linearfaktor: (x + 2)

Wie gesagt: bequem und übersichtlich soll es sein, deshalb lasse ich Platz für die fehlende Potenz, die kommt nämlich automatisch!

  (x³ -  6x²          + 32) : (x + 2) = x² - 8x + 16
-(x³ + 2x²)
  ___________
       -8x² 
    -(-8x² - 16x)
     _______________
                16x + 32
              -(16x +32)
              _________
                 0

Dass (x² - 8x + 16) = (x - 4)²   ist, sieht man sofort.

http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

Daher x₁    = -2
           x₂‚₃ =  4  

Einen Rest hat es bei der Polynomdivision nicht gegeben.
Sonst hätte man auch ganz schlechte Karten!        

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Bildungsgesetz für ganzrationale Funktionen.

y=f(x)= (x - x1) * (x-x2) * (x-x3)* a

x1 und x2 und x3 sind die Nullstellen der Funktion,hier Kubische Funktion.

Dann wird das Ganze noch mit den Faktor a multipliziert.

Man kann auch x2=0 und x3=0 wählen,dann gibt es nur 1 Nullstelle

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

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