Hallo,kann man die Wurzel auch aus die irrationale Zahle wie beispiel PHI 3,1415926ziehen ziehen? , und kann passieren das rationle Zahl daraus entsteht ?

8 Antworten

Beim Quadrieren kann eine irrationale Zahl rational werden:

(√2)² = 2

Umgekehrt geht es nicht. Du kommst ja nicht an das Ende der irrationalen Zahl heran, um eine konkrete Wurzel zu ziehen. Du könntest es dir plausibel machen, wenn du eine Wurzel handschriftlich ziehen könntest. Aber das wird in der Schule heute nicht mehr beigebracht. Das ist so etwas Ähnliches wie Dividieren bei Zahlen, die bis ins Unendliche weitergehen.

Die weiteren Wurzeln aus irrationalen Zahlen werden immer wieder irrational. Das gilt auch für π.

has heisst wurzel aus irrationale Zahl kommt immer heruas eine irrationale zahl? oder

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@Eltaweel

aber kann man oder darf man die Wurzel aus ittationale zahl ziehen?

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@Eltaweel

Du kannst aus jeder reellen Zahl die Wurzel der Wurzel ziehen. Nur darstellen kannst du nicht alle, zumindest nicht explizit bis zum Ende.

Aber es ist immer eine Darstellungsmöglichkeit vorhanden, z.B.

√(√(√(√2))) = 1,044273782427413840321966478739929008784603129662713322017...

was mancher Taschenrechner auch angenähert ausrechnen kann.

(Die Klammern stehen für die Weite der Wurzel, die hier ja nicht mit einem Strich darüber klargemacht werden kann.)

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Erste Frage: Ja! Du kannst aus jeder Zahl die Wurzel ziehen.

Zweite Frage:

Zuerst überlege mal, was die Wurzel ist: die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt.

Kann das Ergebnis rational sein: Das Ergebnis wieder quadriert ergibt die Zahl unter der Wurzel → das Produkt zweier rationaler Zahlen ist aber immer eine rationale Zahl →
          Die Wurzel einer irrationalen Zahl kann nicht rational sein!

Nein das kann nicht sein.

Sei k eine Irrationale Zahl.
Dann kannst du höchstens haben, dass a*j = Wurzel(k) ist.
rational*rational = rational
rational*irrational = irrational
irrational*irrational = irrational.

Wenn k = 4Pi dann ist Wurzel(k) = 2*Wurzel(Pi).
2 ist zwar rational, aber Wurzel(Pi) nicht.

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR

Du kannst dir das auch so erklären:

Eine rationale Zahl ist ja immer als Bruch darstellbar.
Also Zähler und Nenner sind immer ganze Zahlen.

Jetzt nehmen wir mal den Bruch a/b, wobei a und b ganzzahlig sind (s.o.). a/b = r (für rational).
Wurzel(a/b) = Wurzel(a)/Wurzel(b) = Wurzel(r).
Daran sieht man schon, dass es für a und b unendlich viele Werte gibt, damit r rational ist. (Man muss halt nur immer Quadratzahlen einsetzen.)

Jetzt sagen wir aber mal, dass a/b = i (für irrational) ist.
Nun kann man entweder für a oder für b keinen rationalen Wert mehr einsetzen, denn dann wäre i rational.
Wurzel(i) = Wurzel(a)/Wurzel(b).
Aber da wir für a oder b keinen Wert einsetzen können, existiert eine der Wurzeln, oder beide, nicht.

Damit ist bewiesen, dass Wurzel(i) IMMER irrational ist!

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@JTR666

"jetzt sagen wir mal, das a/b = i (irrational) ist."

Logic Fail. Ein Bruch ist rational.

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@LeadBread

Dann hast du keine Ahnung von der Beweisführung in der Mathematik.

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@LeadBread

Logic Fail. Ein Bruch ist rational.

Selber Logic Fail: Nur dann, wenn a und b ganze Zahlen sind...

Nimm z.B. a=pi und b=1, dann ist a/b ganz schön irrational...

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