Gleichung in ein Binom umwandeln?
Hey ihr die Mathe verstehen :) Mein Lehrer hat mir das ganz genau erklärt und in der Schule konnt ich es noch aber wie das so ist sitz ich jetz zuhause und habs vergessen :D Hab schon einiges gefunden aber versteh das nicht wenn ich es nicht an einer Aufgabe sehe.
x² - 4 x + 4 = ?
Hat mir jemand da die Zwischenritte aus was was wird?
Vielen lieben Dank :)
8 Antworten
A. Du willst wissen, wie sich in einem Term die ausmultiplizierte Form einer binomischen Formel erkennen lässt. Das kann für Terme der Form
x² + px + q ; (1) möglich sein. Der Term
x² - 4x + 4 hat mit p = -4 und q = 4 die Form (1).
REGEL: Ein Term der Form (1) lässt sich genau dann in der Form
(x + x0)² schreiben, wenn gilt:
p = 2 * x0 ↔ x0 = p / 2 und q = x0².
Für x0 > 0 entsteht die erste, für x0 < 0 die zweite binomische Formel.
Hier ist
p = -4, also rechnest du:
x0 = p / 2 = -4 / 2 = -2. Jetzt prüfst du noch, was x0² ergibt:
x0² = (-2)² = 4 = q; es funktioniert also. - Mit x0 = -2 ist:
x² - 4x +4 = (x +(-2))² = (x -2)²
Wegen x0 = -2 < 0 entsteht die zweite binomische Formel.
REGEL in Worten: In der Form (1), also
x² +px +q
halbierst du p, um x0 zu erhalten. Dann prüfst du, ob x0² = q ist. Wenn ja, lässt sich der Term (1) als ausmultiplizierte Form der ersten oder aber der zweiten binomischen Formel auffassen.
B. REGEL: Ein Term der Form (1) lässt sich genau dann in der Form
(x + x0)(x - x0) schreiben, wenn gilt:
p = 0 und q = -x0² ↔ x0 = √(-q)
Dann entsteht die dritte binomische Formel.
In einem Beispiel
x² - 9 ergibt der Vergleich mit
x² +px + q:
p = 0 (es kommt kein Summand mit x vor), also rechnest du:
x0 = √(-q) = √-(-9) = √9 = 3; es funktioniert also. - Mit x0 = 3 ist:
x² - 9 = (x -3)(x +3)
REGEL in Worten: In der Form (1), also
x² +px +q
muss p = 0 sei, d.h. es darf kein Summand mit x vorkommen. Um x0 zu erhalten, berechnest du √(-q). Diese Wurzel ist genau dann eine reelle Zahl, wenn q ≤ 0 ist. Genau dann lässt sich der Term (1) als ausmultiplizierte Form der dritten binomischen Formel auffassen.
C. VORSICHT bei Mathe-Begriffen: Der Ausdruck "x² - 4 x + 4 = ?" ist ein Term, aber keine Gleichung. Damit das eine Gleichung ist, müsste auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens ein Term stehen.
Also du hast erstmal den Satz für die binomische Formel (ich nehme hier aus Einfachheitsgründen mal den ersten)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Jetzt sollst du das umgekehrt machen, wenn du also von so einer Gleichung auf ein Binom kommen willst, kannst du das hier anwenden:
a² + ac + d = ( a + 0.5 c )² + d - (0.5 c)²
Wenn du also die zweite binomische Formel hast, hast du:
a² - ac + d = ( a - 0.5 c )² + d - (0.5 c)²
In deine Formel umgewandelt ist das:
x² - 4 x + 4 = ( x - 2 )² + (4 - [-2]²) => ( x - 2 ) ² + 0 = ( x - 2 )²
Du musst dir klar machen, dass die beiden ersten Binomischen Formeln eigentlich eine ist, nur aus Einfachheitszwecken für Schüler in zwei einzelne aufgeteilt, da das Vorzeichen manchmal Schwierigkeiten gibt (wenn man bei (a - b)² das b am Ende quadriert, ist es ja positiv, deshalb ist - 2ab das einzige Negative dadrin).
Vielleicht hilft es dir es andersherum zu sehen? (x-2)² = (x-2)(x-2) [ausmultiplizieren 1. stelle mal 1., 1. mal 2., 2. mal 1., 2. mal 2. ] = x*x-2x-2x+4 = x² - 4x + 4
und in umgekehrter Folge ergibt das wieder die binomische Formel. Zwischenschritte werden dann eher selten verlangt da es eine feste Regel ist, wie blaugruetze schon zeigte, die z.B. im Tafelwerk steht. Ganz nützlich ist die Umformung für die quadratische Ergänzung als "Alternative" zur pq-Formel bei Nullstellenberechnung.
Es gilt: a² - 2ab + b² = (a-b)²
(x-x)² = 0. Das ist Quark. Überlege dir, was in deiner Gleichung das a ist und was das b.
Eigentlich gar nicht so schwer. du ziehst die Wurzel aus x² und 4, das sind x und 2. Dann schreibst du (x _ 2)² . In die Lücke kommt dann entweder ein + oder - ! Wenn ein - in der Gleichung steht ( das ist bei deiner Gleichung der Fall) dann schreibst du ein - in die Lücke also (x-2)². wenn kein - sondern nur + da steht schreibst du ein + zwischen x und 2.
also wird aus der gleichung oben (x-x)² mehr nicht?