Gleichung in die Normalform umwandeln?

Hallo ich schreibe am Montag eine Mathearbeit und komme an diese Stelle nicht weiter.

Die Gleichung 8x(hoch 2) + 104x + 288 = 0

Kann mir hierbei jemand helfen und erklären ?

Hier ist die genaue Arbeitsauftrag:

Answer 1

[mihisu]

Zunächst einmal fehlt in der Aufgabenstellung wohl ein „p“. Es sollte „x² + px + q = 0“ statt „x² + x + q = 0“ lauten.

Vor dem x² vorne soll nichts (bzw. eine versteckte 1) stehen. Dies erreicht man, indem man durch die Zahl vor dem x² dividiert.

$8x^2+104x+288=0$

[Dividiere durch 8]

$\frac{8}{8}x^2+\frac{104}{8}x+\frac{288}{8}=\frac{0}{8}$

$x^2+13x+36=0$

Dann hast du die Gleichung in der Form x² + px + q = 0 und kannst die p-q-Formel anwenden, um die Lösungen der Gleichung zu bestimmen.

$x^2+px+q=0\ \Leftrightarrow\ x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

Im konkreten Fall also...

$x^2+13x+36=0$ $\Leftrightarrow\ x=-\frac{13}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2-36}$ $\Leftrightarrow\ x=-\frac{13}{2}\pm\sqrt{\frac{169}{4}-36}$ $\Leftrightarrow\ x=-\frac{13}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}}$ $\Leftrightarrow\ x=-\frac{13}{2}\pm\frac{5}{2}$ $\Leftrightarrow\ x=-\frac{13}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{18}{2}=-9\ \vee\ x=-\frac{13}{2}+\frac{5}{2}=-\frac{8}{2}=-4$

Damit hat man die beiden Lösungen x = -9 bzw. x = -4 gefunden und kann die Lösungsmenge aufschreiben...

$L=\left\{-9;\ -4\right\}$

Comments

[Binprivat09]

Danke, aber wie kommt man auf die 25/4tel in der p-q Formel (4 Zeile)

[mihisu]

@Binprivat09

Das ist im Grunde einfach nur Bruchrechnen.

(13/2)² - 36
= 13²/2² - 36
= 169/4 - 36
[Um die Subtraktion durchführen zu können, braucht man nun Brüche mit gleichem Nenner. Dementsprechend erweitere ich 36 mit 4 zum Bruch 144/4.]
= 169/4 - 144/4
= (169 - 144)/4
= 25/4

Answer 2

[Zatarong]

Also in dem Fall musst du die Gleichungen nur kürzen und dann die Mitternachts- oder pq-Formel anwenden.

Die Mitternachtsformel geht auch ohne zu kürzen, aber für mich sieht das danach aus als sollt ihr die pq-Formel verwenden.

Answer 3

[MichaelH77]

bei der a) die Gleichung zunächst durch 8 teilen, dann pq-Formel anwenden

Normalform heißt in diesem Zusammenhang, dass vor dem x² immer eine 1 (oder nichts) steht

x² +13x +36 = 0

Answer 4

[julixaxoxo]

das ist schon die normalform, abgesehen davon, dass du beispielsweise bei der ersten noch durch acht teilen musst. du musst alles nur noch in die pq-formel einsetzten.