ggT und kgv gegeben zahlen gesucht?
aufgabe: bilden sie aus dem ggT 12 und dem kgv 360 zwei mögliche Zahlen. Welche Pärchen sind möglich? Woher wissen sie dass sie alle zahlen haben?
komm nicht weiter
danke!
4 Antworten
Es ist kgV[u,v] = u v / ggT(u,v)
Folglich ist u * v = 2^5 * 3^3 * 5
Jeder der Faktoren u und v müssen mindestens 2 mal die Zahl 2 enthalten und mindestens einmal die Zahl 3. Es kommen also folgende Kombinationen in Frage:
u * v = (2^2 * 3) * (2^3 * 3^2 * 5) = (2^3 * 3) * (2^2 * 3^2 * 5) = (2^2 * 3^2) * (2^3 * 3 * 5)
und diejenigen, wo die 5 im 1. Faktor steckt. Mehr Lösungen kann es jedenfalls nicht geben. Jetzt muß noch überprüft werden, ob es auch tatsächlich Lösungen sind. Das ist "straight forward".
Tipp: Überleg dir, was ggT und kgV mit der Primfaktorzerlegungen der (hier: zwei) Zahlen zu tun haben, von denen sie bestimmt wurde.
Konkret: Was sagt dir ggT(a, b) = 12 über die Primfaktorzerlegungen von a und b? Genauso für kgV(c, d) = 360 und die Primfaktorzerlegungen von c und d.
Beide Zahlen sind Vielfaches von 12
Teile 360 durch 12 >> Ergebnis 30
30 = 2 • 3 • 5
Bilde die 3 möglichen Kombinationen
a) 2 • 3 = 6 und 5
b) 2 • 5 = 10 und 3
c) 3 • 5 = 15 und 2
Multipliziere die Paare mit 12
a) 72 und 60
b)120 und 36
c)180 und 24
Kontrolle für a)
72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3
60 = 2 • 2 • 3 • 5
ggT = 2 • 2 • 3 = 12
kgV = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 = 360
multipliziere 12 mit 360 und teile diese Zahl dann durch alle Vielfachen von 12 , dann bekommst du alle Paare.
12 • 360 = 4320
Paare sind also
12 ; 360
24 ; 180
36 ; 120
48 ; 90
60 ; 72
usw
Streiche (48 ; 90) und das "usw.", dann ist es richtig!
Das Paar (12 ; 360) ist richtig, aber trivial (;-)))
Geograph hat recht; offentsichtlich muss man bei meinem Verfahren noch gucken, ob die 2.Zahl im Pärchen durch 12 teilbar ist; wenn nicht wie bei (48;90) fliegt das Paar raus.