Textaufgabe ggT und kgV?
Hallo,
kann mir jemand diese Aufgabe erklären, den Weg zum Ergebnis?
Das Produkt zweier Zahlen ist 7837696, ihr ggT beträgt 32. Wie gross ist ihr kgV?
(Das kgV müßte 244.928 sein)
Danke
2 Antworten
Das Produkt aus ggT und kgV zweier Zahlen entspricht dem Produkt der beiden Zahlen selbst. Dies kannst Du Dir mittels Primfaktorzerlegung veranschaulichen. Hierzu ein Beispiel:
120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5
252 = 2 * 2 * 3 * 3 * 7
Fuer den ggT schaust Du, wie oft jeder Primfaktor mindestens in den beiden Zahlen steckt: Die 2 mindestens zweimal (naemlich in 252), die 3 mindestens einmal (naemlich in 120), die 5 garnicht (naemlich nicht in 252) und die 7 garnicht (naemlich nicht in 120). Also ggT(120, 252) = 2 * 2 * 3 = 12.
Fuer das kgV schaust Du, wie oft jeder Primfaktor hoechstens in den beiden Zahlen steckt: Die 2 hoechstens dreimal (naemlich in 120), die 3 hoechstens zweimal (naemlich in 252), die 5 hoechstens einmal (naemlich in 120) und die 7 hoechstens einmal (naemlich in 252). Also kgV(120, 252) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 = 2520.
Jeder Primfaktor taucht also am Ende entweder als Teil des ggT oder als Teil des kgV auf (z.B. stecken die drei Zweien aus 120 im kgV, die beiden Zweien aus 252 im ggT). Das Produkt aus ggT und kgV zweier Zahlen ist also einfach das Produkt der beiden Zahlen selbst.
Für Zahlen a, b gilt:
ggT(a, b) * kgV(a, b) = a * b
Im Beispiel ist a * b = 7837696 und ggT(a, b) = 32. Also ist:
32 * kgV(a, b) = 7837696
kgV(a, b) = 7837696 / 32 = 244928