f(x)=ax²+b?
Wie müssen a und b gewählt werden, damit der Graph von f(x)=ax²+b den Graphen von g(x)= 1:x bei x=1 berührt. Wie lautet die Gleichung der Berührtangente?
3 Antworten
Der Anstieg von g(x)=1/x für x=1
g'(x=1) = -1/x² = -1
Die Funktion f(x) = ax² + b berührt g(x) im Punkt (1|1) und hat dort den Anstieg -1
f(x=1) = 1 = a + b
f'(x) = 2ax = -1 >>> a = -0,5
b = 1 - a = 1,5
f(x) = -x²/2 + 1,5
Diagramm im Bild
g(1)=1/1=1
also muss auch
f(1)=1 sein,
d.h. a+b=1.
die ableitungen müssen auch gleich sein:
f'(x)=2ax
g'(x)=-1/x^2
also muss gelten
f'(1)=g'(1)
2a=-1
also ist a=-1/2
mit a+b=1 folgt
b=1-a=1.5
damit ist
f(1)=-1/2*1+1.5= 1
und
f'(1)=2*(-0.5)*1= -1
Damit ist die Berührtangente:
h(x)=2-x
Hast du eigene Ideen oder Ansätze?
Der zweite Teil sieht doch schon vielversprechend aus! Aber:
1=2a*1
Wo kommt diese Gleichung her?
Ja, die Ableitung von f(x) gibt die Steigung von f an. Jetzt hast du f'(1) = 1 eingesetzt, aber wieso sollte die Steigung von f im Punkt (1|1) gerade 1 sein?
Ja, die Funktion geht durch den Punkt (1|1), aber das heißt ja nicht dass die Steigung dort auch 1 sein muss.
Ein einfaches Beispiel: Die Funktion g(x) = x + 1 geht durch den Punkt (2|3), aber hat dort trotzdem die Steigung 1, denn g'(2) = 1.
Du musst erst berechnen, wie groß die Steigung von f an der Stelle 1 ist.
ja
g(1)=1:1=1 ---> s(1/1)
f'(x)=2ax
1=2a*1
1=2a |:2
0,5=a
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f(x)=0,5x²+b
1=0,5*1²+b
1=0,5+b |-0,5
0,5=b
aber jedoch soll das falsch sein, da a=-05 sein soll und b=1,5.