Funktion symmetrisch?

Ist e) symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung? Verstehe das mit der Wurzel nicht so ganz.

Answer 1

[SlowPhil]

Hallo crxftee,

um festzustellen, ob eine Funktion symmetrisch zum Ursprung ist, musst Du x durch –x ersetzen und gucken, was sich ändert.

Bei rationalen Funktionen, namentlich ganz-rationalen Funktionen wie der aus e) sehen wir das sofort, weil nur gerade Potenzen vorkommen; die Funktion lässt sich nämlich auch als $(1)\quad f(x)=\frac{1}{6}\cdot x^6+(-1)\cdot x^2+(-\sqrt{2}+1)\cdot x^0$ schreiben. Man spricht auch von einer geraden Funktion.

Verstehe das mit der Wurzel nicht so ganz.

Das hat in diesem Fall nichts zu bedeuten, denn unter der Wurzel steht eine Zahl.

Eine Funktion, die nur ungerade Potenzen von x enthält, ist punktsymmetrisch zum Urprung, d.h.

(2) f(x) = –f(–x).

Hier spricht man auch von einer ungeraden Funktion. Die Funktion aus b) ist keines von beidem, lässt sich aber in einen geraden und einen ungeraden Anteil zerlegen. Das geht sehr oft, solange nur der Definitionsbereich symmetrisch ist:

(3.1) f_g = ½·(f(x) + f(–x))
(3.2) f_u = ½·(f(x) – f(–x)).

Viele Funktionen, die nicht rational sind, lassen sich in eine Potenzreihe entwickeln, z.B.

(4.1) cos(x) = 1 – x² + x⁴⁴ /24 ± …
(4.2) sin(x) = x – x³/6 + x⁵/120 ± …

(im Nenner steht die Fakultät des Exponenten).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[Ahzmandius]

Symmetrie bezüglich des Ursprungs:

f(x) = -f(-x)

Symmetrie bezüglich der Y-Achse:

f(x) = f(-x)

Comments

[Wechselfreund]

... und hier hat x nur gerade Exponenten.

Answer 3

[donotcallme]

Ja, sie ist symmetrisch zur y-Achse.

Die Wurzel aus 2 bedeutet nur dass die Parabel bei wurzel aus 2 plus 1 die y-Achse schneidet