Funktion in Abhängigkeit einer Formel aufstellen, aber wie?
Moin!
Mein Professor gab uns heute die schöne Aufgabe, eine Funktion aufzustellen, welche in Abhängigkeit zu einer Formel steht. Ich beschäftige mich seit knapp 3 Stunden mit dieser Aufgabe, aber jeder Ansatz führt ins nichts…
Die genaue Aufgabenstellung, als auch die Formel sind in dem Bild dargestellt.
Über jeden Ansatz oder gar eine Erklärung/Lösung der Aufgabe würde ich mich riesig freuen.
Beste Grüße!
3 Antworten
B(h) beschreibt deine Funktion, der Wert h nimmt hierfür deine Variable ein. In der Schule war das zB. x
Du musst als erstes den Radius r² durch h ausdrücken, dafür helfen dir Trigonometrische Überlegungen.
Also Cos(alpha) = h/r , das stellst du nach r um: r=cos(alpha)/h und quadrierst die Formel
B(h) = [I_0 * cos(alpha)h²] /[cos(alpha)²] -> Cosinus Kürzen und danach die Funktion nach h ableiten.
B'(h)= [2*I_0*h]/[cos(alpha)]
Die Funktion Null setzen und nach h auflösen und somit ist deine optimale Höhe h gefunden
h= Cos(alpha)/2*I_0
Das ist doch genau den Punkt den du suchst oder nicht? Vielleicht verstehe ich auch deinen letzten Satz nicht hundertprozentig. Aber alleine durch das Schaubild ist erkennbar, dass der optimale Punkt im Ursprung liegen müsste, weil dort r^2 minimal ist und cos(alpha) = 1 ist, also maximal, damit wird auch deine Funktion maximal, du hast also ein globales Maxima.
Das war zumindest das Erste, was mir auch in den Sinn kam ^^ Genau, prüf einfach nochmal nach, ob du mit der Ableitung der Funktion auch das gleiche globale Maximum findest, viel Erfolg!
Wie weit bist du denn vom Denkansatz her gekommen? Die Beleuchtungsstärke soll auf jeden Fall den größtmöglichen Wert erreichen, das heißt es handelt sich um eine Extremwertaufgabe. Die Zielfunktion müsstest du ja demnach als erstes aufstellen, welche in Abhängigkeit von h angegeben werden muss (steht ja schon im Hinwies drin). Das heißt ich würde r^2 und cos(alpha) mal in Abhängigkeit von h darstellen.
Guten Abend Jürgen, mein erster Ansatz war es, zu schauen via Satz des Pythagoras, ob man r in Abhängigkeit zur Höhe so klein wie möglich bekommt. Da mit dem r^2 die Werte noch kleiner werden, um so größer dementsprechend die belichtungsstärke. Aber der cos(Alpha) muss gleichzeitig 1 sein. Lange Rede kurzer Sinn, was wenn Alpha=0 Grad und r nicht kürzer werden kann da r=a gelten würde?
wenn ich dich von meiner Meinung überzeugen konnte, dann hoffe ich, dass das richtig sein wird, aber ich werde ebenso nochmal nachrechnen👌🏻🙏🏼