Für welche Werte von a erfüllt u die Wellengleichung?

Moin,
habe bei folgender Aufgabe leider keine Ahnung wie ich da rangehen soll.

Vielleicht kann mir jemand unter die Arme greifen.

Dankeschön

Answer 1

[mihisu]

Naja, die homogene Wellengleichung lautet (hier im konkreten Fall mit nur einer Ortsvariablen x)...

$\frac{\partial^2}{{\partial t}^2}u(t, x)=c^2\cdot \frac{\partial^2}{{\partial x}^2}u(t, x)$

[Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Wellengleichung]

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In der Aufgabe hast du...

$u(t, x)=e^{t+ax}-\sin(2 t - 3 x)$

... gegeben. Bilde damit die zweiten partiellen Ableitungen...

$\frac{\partial^2}{{\partial t}^2}u(t, x)\quad \text{ und }\quad\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}u(t, x)$

... und setze das in die homogene Wellengleichung ein.

====== Ergänzung ======

Da ich nicht weiß, wie ich zwischen heute Abend und Anfang nächster Woche Zeit finde, wieder in die Fragen zu schauen, gebe ich gleich noch meine Lösung zum Vergleich an...

$u(t, x)=e^{t + a x}-\sin(2 t - 3 x)$

$\frac{\partial}{\partial t}u(t, x)=e^{t + a x}-\cos(2 t - 3 x)\cdot 2$

$\frac{\partial^2}{{\partial t}^2}u(t, x)=e^{t + a x}+\sin(2 t - 3 x)\cdot 4$

$\frac{\partial}{\partial x}u(t, x)=e^{t + a x}\cdot a-\cos(2 t - 3 x)\cdot \left(-3\right)$

$\frac{\partial^2}{{\partial x}^2}u(t, x)=e^{t + a x}\cdot a^2+\sin(2 t - 3 x)\cdot 9$

Einsetzen in die homogene Wellengleichung...

$e^{t+a x}+\sin(2 t - 3 x)\cdot 4=c^2\cdot \left(e^{t+a x}\cdot a^2+\sin(2 t-3 x)\cdot 9\right)$

Bzw. wenn man die rechte Seite noch etwas ausmultipliziert...

$[*] : \quad e^{t+a x}+\sin(2 t - 3 x)\cdot 4=e^{t+a x}\cdot a^2\cdot c^2+\sin(2 t-3 x)\cdot 9\cdot c^2$

Die Gleichung [*] soll für alle t, x ∈ ℝ erfüllt sein. Also beispielsweise insbesondere auch für t = 0 und x = 0. In diesem Fall erhält man...

$[\#] : \quad 1=a^2\cdot c^2$

Wenn man das in [*] einsetzt und e^(t + ax) subtrahiert und dann durch sin(2t - 3x) dividiert, erhält man...

$[\$] : \quad 4=9\cdot c^2$

Aus [$] erhält man dann, dass c = 2/3 oder c = -2/3 ist (bzw. insbesondere, dass c² = 4/9 ist). Setzt man das in [#] ein, erhält man die möglichen Werte a = 3/2 oder a = -3/2. Damit hat man die gesuchten Werte für a und die Wellengeschwindigkeit c gefunden.