Formelumstellen (Achtung SCHWER)?
Hey Leute,
Ich verzweifle gerade an folgender Gleichung. (Bild) Ich muss sie nach groß D umstellen. Gibts hier einen Mathe Profi, wäre sehr sehr dankbar :-)
LG Peter
8 Antworten
Letzlich ist es eine Gleichung 4. Grades. Dafür gibt es zwar gerade noch eine Standardlösung, so ähnlich wie es für quadratische Gleichungen auch eine Standardlösung gibt. Die bekannten p-q-Formeln. Aber das Äquivalent dazu für eine Gleichung 4. Grades ist eigentlich unzumutbar kompliziert. - Dabei sieht die Gleichung so einfach aus.
Dies ist die Formel für das Widerstandsmoment bei der Biegung.
sigma(zb)= Mb/Wb hier ist sigma (zb) die Biegezugspannung in N/mm^2 und Mb das Biegemoment in N mm (Newton mal Millimeter)
w*32/pie= (D^4 -d^4)/D Hilfsvariable a=w *32/pie ergibt
0=(D^4 - d^4) /D - a = D^3 - d^4 /D - a Hilsvariable b= d^4
0=D^3 - b/D - a multipliziert mit D
0= D^4 - a * D - b dies kann man nur mit einen Graphikrechner oder durch probieren lösen !!
Probieren : Man sucht eine Stelle D wo ein Vorzeichenwechsel stattfindet.Dazwischen liegt eine Nullstelle.
Der Wert berbessert man dann mit den Tangentenverfahren von Newton oder den Verfahren nach "Regula falsi"
Formel von Newton : x2=x1 - ( f(x1) / f´(x1) )
x1 ist die angenäherte Stelle,wo die Nullstelle ist und x2 ist dann der verbesserte Wert,der dann wiederum in die Formel eingesetzt wird.
Das Verfahren wiederholt man so lange,bis die Genauigkeit ausrecht.
TIPP : besorge dir einen Graphikrechner (Casio),wie ich einen habe.Die Adressen der Hersteller findest du im Internet,wenn du im Suchfeld "Graphikrechner" eingibst.
Ohne solch ein Ding,bist du bei Funktionen verloren !!
da D gesucht ist, nenne ich es ab hier x und Wurzel sqrt(x):
Die PQRSTUVW-Formel ist bekannt
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Quartic_Formula.svg
und
mit Substitution sieht Dein Fall auch nicht mehr so kompliziert aus:
u=(512*W²)/Pi²+(8*sqrt(110592*W^4+Pi^4*d^12))/(3^(3/2)*Pi²)
p=4*d^4
x=-/+sqrt((-/+(64*sqrt(3)*W*u^(1/6))/(Pi*sqrt(3*u^(2/3)-p)))-u^(1/3)+p/(3*u^(1/3)))/2-/+sqrt(3*u^(2/3)-p)/(2*sqrt(3)*u^(1/6))
(je 2 vorn mal + mal - und in der Mitte mal - und mal +)
wobei Dich die komplexen Lösungen kaum interessieren dürften.
Beispiel:
W=(pi/32)*(x^4-d^4)/x ,W=Pi*15/64,d=1
umgestellt *x*32/4
0= pi x^4-32 W x-pi d^4 |/Pi
0=x^4-W*32/Pi*x-d^4 mit -W*32/Pi=-15/2
u=(2025+49sqrt(1713))/72
p=4
Fall mit Vorzeichen + + +:
sqrt((+(64*sqrt(3)*Pi*15/64*u^(1/6))/(Pi*sqrt(3*u^(2/3)-4)))-u^(1/3)+4/(3*u^(1/3)))/2+sqrt(3*u^(2/3)-4)/(2*sqrt(3)*u^(1/6))
=2.0
Die anderen 3 Lösungen sind für positive Physik-Werte irrelevant, da negativ oder komplex
Probe per PQRSTUVW-Formel online:
http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
siehe Bild
Um zu zeigen, dass man mit dem Algorithmus von fjf100 auch zum Ziel kommt, habe ich die Parameter an den Iterationsrechner Beispiel 118 übergeben
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#ZZZZZ0118
Fx(x): pow(x,4)-aC[0]*32/PI*x-pow(aC[1],4)
Init: a=0;aB[0]=3;aC=Array(PI*15/64,1.0);//Startwerte
selbe Ergebnis 2.0 siehe Bild
Warum sich das Leben kompliziert machen? Ich bin sonst auch für Äquivalenzumformungen, um eine solche Formel auch in Zukunft nutzen zu können. Aber hier kommt ein Ausdruck zustande, der jenseits von Gut und Böse ist.
Daher empfiehlt es sich doch sehr, unseren Freund Wolfram mit 2 Eingaben zu füttern, um D herauszubekommen.
Das dauert Sekunden, und D steht da.
Mal bar jeder Einsicht in die eigentliche Formel gebe ich z.B. ein:
w=(pi/32)*(D^4-d^4)/D where w=12,d=8
Ich bin mir nicht sicher:
D = ((pi : 32) * (D4 - d4)) : W
Tut mir Leid, wenns falsch ist
nein soweit richtig ich muss das D^4 aber eben auch wegbekommen ;-)
Das geht mit (D-d)^4 = D^4 -4D^2d +6D^2d^2 -4Dd^3 +d^4 das so zu sagen die binomischeformel nur mit ^4