Extremwertproblem?
Hallo, folgende Aufgabe: Einem geraden Kreiskegel wird ein gerader Kreiszylinder einbeschrieben. Weise nach, dass der Zylinder höchsten 4/9 des Kegel Volumens besitzt.
3 Antworten
Z Zylinder und K Kegel
Zweiter Strahlensatz
rz/rk = (hk-hz)/hk
nach rz umstellen
und in Vz einsetzen.
Dann mit Vk vergleichen.
Skizziere erstmal den Querschnitt, damit du dir vorstellen kannst, wie der einbeschriebene Zylinder im Kegel liegen muss.
Du willst hier ja den allgemeinen geraden Kegel betrachten, dieser wird durch den Radius r und der Höhe h eindeutig bestimmt.
Überlegen dir nun wie hoch ein enbeschriebener Zylinder in dem Kegel maximal sein kann, wenn dessen Radius fest ist (die Skizze kann nützlich sein, Tipp: du wirst eine lineare Funktionen bekommen)
Stelle nun die Volumenfunktion des Zylinders in Abhängigkeit vom Radius auf (überlegen dir wie der Definitionsbereich aussehen muss)
Bestimme nun das globale Maximum der Funktion, wie üblich, und bestimme dessen Verhältnis zum Volumen des Kegels
Noch ein Tipp: Da es nur um Verhältnisse geht, kannst Du den Radius des Kegels gleich 1 setzen. Die Höhe des Zylinders kannst Du über den zweiten Strahlensatz in Abhängigkeit von der Höhe des Kegels bringen. Später wird die Höhe von selbst aus der Rechnung verschwinden. Du hast den Radius des Kegels durch 1 ersetzt, die Höhen verschwinden aus der Rechnung, so daß nur noch der Radius des Zylinders in der Zielfunktion als Variable bleibt. Nach diesem Radius ableiten, Ableitung auf Null setzen und den entsprechenden Wert in den Quotient aus Zylinder und Kegel einsetzen. Ergebnis: 4/9.
Bei solchen aufgaben nimmt man am besten Zahlenwerte,damit man seine Formeln überprüfen kann
Kegelvolumen Vk=1/3*Ag*h=1/3*r²*pi*h
Zylindervolumen Vz=Ag*h=r²*pi*h
als Kegel nehmen wir mal r=10 cm und h=20 cm → Vk=2094,395 cm³
nun eine Zeichnung machen mit dem Kegel und dem Zylinder und direkt daneben ein rechtwinkliges Dreieck
aus der Zeichnung entnehmen wir (da sind ähnliche rechtwinklige Dreiecke)
Steigung m=h/r ist das große rechtwinklige Dreieck
m=y/(r-x) ist das kleine rechtwinklige Dreieck
gleichgesetzt
m=h/r=y/(r-x) → y=h/r*(r-x)=-h/r*x+h ist die Geradengleichung der Mantellinie des Kegels
y=Höhe des Zylinders
r=Radius des Kegels (r=10 cm)
h=höhe des Kegels (h=20 cm)
ergibt die 2 Gleichungen
1) Vz=x²*pi*y → Hauptgleichung (Hauptbedingung) → Volumen Zylinder
2) y=-h/r*x+h
2) in 1)
Vz=x²*pi*(-h/r*x+h)=
Vz(x)=-h/r*pi*x³+h*pi*x²
wir haben nun eine Funktion der Form f(x)=.... vorliegen
nun eine Kurvendiskussion durchführen → Extrema bestimmen
V´z(x)=0=... Nullstellen bei x1=0 fällt weg und x2=2/3*r
V´´(x)=.... → V´´2/3*r)=...<0 → Maximum kann nicht größer werden
Vz=(2/3*r)²*pi*(-h/r*2/3*r+h) → Vz=930,844 cm³
Vk/Vz=930,844 cm³/2094,395 cm³=0,44444.... 4/9 stimmt.
Den Rest schafft du selber.Is mir zu viel Arbeit.