Mathe: Zylinder im Würfel?
Hallo
Ich stosse bei einer Mathe Aufgabe (siehe unten) an meine Grenzen.
Einem Würfel mit der Kantenlänge a ist ein Kreiszylinder mit der Höhe h so einbeschrieben, dass die Zylinderachse auf einer Körperdiagonale des Würfels liegt. Berechnen Sie den Radius der Zylindergrundfläche aus a und h.
Wie geht man dort am besten vor, denn ich kann mir dies auch nicht vorstellen, wie dies aussieht (Skizze).
Besten Dank im Voraus. LG
3 Antworten
Satz des Pythagoras anwenden c^2= a^2 +b^2
Diagonale beim Würfel d^2 = a^2 +a^2= 2 *a^2 ergibt d= Wurzel (2) * a
Nun die Raumdiagonale dr^2 = d^2 + a^2=2 * a^2 + a^2=3 *a^2 ergibt
dr= Wurzel (3) * a und es gilt h= d= 2 *r also
h=2*r= a * Wurzel (3)
Schneide den Würfel von oben nach unten Diagonal durch.
Sei a=1. Diese Schnittfläche müsste jetzt so aussehen:
Ein Rechteck mit Höhe 1, Länge Wurzel von 2 (das ist die Diagonale in der Ober/Unterseite des Würfels). Die Diagonale des Rechtecks hat dann Länge Wurzel von 3, das ist die Körperdiagonale.
Der obere/untere Kreisfläche des Zylinders steht senkrecht auf der Körperdiagonalen=Diagonale unseres Rechtecks=Zylinderachse, und berührt den unteren Rand des Rechtecks. Dies einzeichnen.
Rest selbst berechnen.
die untere Kreisfläche berührt den unteren Rand, die obere Kreisfläche berührt den oberen Rand
Man kann diese wunderschöne Aufgabe mithilfe der Ähnlichkeit in weniger als eine Minute lösen. Dafür muss man die Bedingung, dass der Zylinder in dem Würfel einbeschrieben ist, ausnutzen. Die Grund- oder Deckfläche des Zylinders berühren bzw. genau drei Seitenflchen des Würfels. Gück mal das kleine rechtwinklige Dreieck, das eine diese Berührungspunkte mit der Grundfläche des Würfel, die Raumdiagonale - die enthält die Symmetrieachse des Zylinders- und eine Eckpunkte des Würfels bilden. Dieses Dreieck ist Ähnlich zum rechtwinkligen Dreieck, das man ausgegangen vom selben Eckpunkt, über die Grundflächediagonale, eine Seitenkante und die Raumdiagonale bilden kann. Sobald dieses Bild klar ist, lassen sich die Verhälltnisgleichung erstellen und mithilfe von dieser kann man den Radius des Zylinders durch a und h ausdrücken.