Extremwertaufgabe?
Hallo!
Könnte mir bitte jemand helfen, für diese Extremwertaufgabe Haupt-/ und Nebenbedingung aufzustellen.
Die Lösung sollte für die Grundkantenlänge 2^1/2•a und für die Schenkellänge a sein (was ja auch Sinn ergibt), aber wie komme ich konkret darauf?
2 Antworten
Man soll den Flächeninhalt des Quadrats minimal machen, komme aber nicht auf die Lösung.
Da ist schon der erste Fehler. Der Flächeninhalt des farbig markierten Dreiecks soll maximal werden. [Der Flächeninhalt des Quadrats ändert sich ja gar nicht!]
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Für die Hauptbedingung... Was soll den maximal werden? Der Flächeninhalt des farbig markierten Dreiecks.
Dementsprechend solltest du zunächst einmal den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von x (und in Abhängigkeit von a) aufstellen.
Hinweis:
- Wie groß ist der Flächeninhalt des gesamten Quadrats?
- Wie groß sind die Flächeninhalte A₁, A₂, A₃ der drei weiß gebliebenen Dreiecke?
- Wenn du von dem Flächeninhalt des Quadrats die Flächeninhalte A₁, A₂, A₃ subtrahierst, erhältst du den Flächeninhalt A des farbig markierten Dreiecks.
Die Hauptbedingung ist dann, dass dieser Flächeninhalt A (in Abhängigkeit von x) maximal wird.
Eine weitere Nebenbedingung hast/brauchst du da nicht, wenn du das so löst. Da sind ja bereits alle Bedingungen mit in das Aufstellen der Hauptbedingung eingeflossen. [Bzw. wenn du unbedingt Nebenbedingungen haben willst, kannst du als Hauptbedingung einfach verwenden, dass A(x) maximal werden soll. Und als Nebenbedingungen kannst du dann die Bedingungen wie A(x) = A_Quadrat - A₁(x) - A₂(x) - A₃(x) und A_Quadrat = ... und A₁(x) = ... und A₂(x) = ... und A₃(x) = ... verwenden, die du für die Berechnung von A(x) benötigst.]
====== Ergänzung ======
Ein möglicher Lösungsvorschlag zum Vergleich...
Wie komme ich aber jetzt von hier, konkret auf die Lösungen, also die Länge der Grundkante und die der Schenkel? Die Lösungen sollten (2^1/2•a und a)
Ahh. Da war ja noch was. Schau dir doch mal an, wie das gleichschenklige Dreieck im Fall x = 0 aussieht. Das ist ja dann nicht irgendein gleichschenkliges Dreieck.
Für x = 0 entsprechen die beiden Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks offensichtlich jeweils einer Seite des Quadrats, haben also jeweils die Länge a.
Für x = 0 entspricht die Basis des gleichschenkligen Dreiecks einer Diagonale des Quadrats. Für die Länge der Diagonale erhält man dann mit Satz des Pythagoras... √(a² + a²) = √(2 a²) = √(2) √(a²) = √(2) a.
A_Dreieck(x) = a² - x * a - (1 / 2) * (a - x)² → Max
A_Dreieck(x) = (1 / 2) * (a² - x²)
A_Dreieck'(x) = -x
A_Dreieck''(x) = -1
Folglich ist für x = 0 die Dreiecksfläche am größten.
Super, danke.