Exponentielles Wachstum?9?

6 Antworten

siehe "Exponentialfunktion" f(x)=a^x im Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladen bekommt.Da brauchst du nur abschreiben.

Durchläuft das Argument x eine arithmitische Folge,so durchläuft der Funktionswert f(x) eine "geometrische Folge"

allgemeine Form ist N(x)=No*a^x hier ist No der Anfangswert zum Zeitpunkt t=0 a^0=1

a>1 "exponentielles Wachstum"

0<a<1 "exponentielle Abnahme"

oder mit a=e=2,7... ergibt N(x)=No*e^(-b*x) mit c=-b*x

c>0 "exponentielles Wachstum"

c<0 "exponetielle Abnahme"

Beispiel : Zinsrechnung Anfangskapital K0=100 Euro Zinssatz o=3%

K1=Ko+Ko/100%*3%=Ko*(1+0,03)=Ko*1,03

K1 =kapital nach 1 Jahr

dies ist eine Exponetialfunktion K(x)=Ko*a^x=100 *1,03^x

a=1,03>0 also Wachstum

Das Kapital verliert an Wert pro Jahr um 3%

K1=Ko-Ko/100%*3%=Ko*(1-0,03)=Ko*0,97

also ergibt dies K(x)=Ko*a^x=100*0,97^x

nach 1 Jahr K1=100*0,97^1=97 Euro "exponetielle Abnahme"

HINWEIS : Radioaktiver Zerfall N(t)=No*e^(-b*t)

No Anzahl der zerfallsfähigen Kerne zum Zeitpunkt t=0

b ist die Zerfallskonstante ,abhängig vom Material

t ist die Zeit ,Einheit kann sein Jahre,Monate ,Tage oder auch Sekunde, je nach Material

TIPP: Zeichne die Funktion f(x)= 2* e^(-1*x) (exponetielle Abnahme) mit x>0 Die Zeit ist beim radioaktiven Zerfall immer positive

Wenn du drei hintereinanderstehende Werte hast für z.B. x = 1, x = 2 und x = 3   und du dividierst das 2. Glied durch das erste, sodann das dritte durch das zweite, kommt bei Exponentialfunktionen derselbe Quotient heraus;
und dieser ist wunderbarerweise auch gleich der Wachstumsfaktor.

y = c aⁿ            c = 100     a = 3

y₁ = 100 * 3     = 300
y₂ = 100 * 3²    = 900
y₃ = 100 * 3³    = 2700

900 / 300   = 3
2700 / 900 = 3

Daher Exponentialfunktion mit Wachstumsfaktor 3.

q.e.d.

(Das ist natürlich kein Wunder, sondern liegt an der Bauart der Funktion. Man sieht es nur nicht sofort.)

Wenn du dann noch y₁ durch den Wachstumsfaktor dividierst, erhältst du auch automatisch den Anfangswert.

1

Exponentiell bedeutet, dass die Veränderung pro Zeiteinheit nicht konstant ist, sonder bezogen zum vorherigem Wert des Bestandes.

Ein Huhn legt jeden Tag ein Ei (dummes Beispiel) - das ist nicht exponentiell sondern konstant.

Wenn Bakterien sich teilen wird aus einer Bakterie 2, 4, 8, 16, 32, 64 ...

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