Exponentialfunktionen: Wie berechne ich den Flächeninhalt der von der Funktion, seiner Tangente und der Geraden eingegrenzte Fläche?

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3 Antworten

Hallo,

zunächst mußt Du die Tangente an f(0) berechnen. Sie ist eine Gerade, die dieselbe Steigung hat wie die Funktion bei x=0 und zu der der Punkt (0|2) gehört.

Die Steigung rechnest Du über die Ableitung f'(x) aus. Für f(x)=e^x+1 ist f'(x)=e^x. f'(0) ist dann 1, denn irgendetwas hoch Null ist immer 1. Nur bei 0^0 ist das eine Sache der Definition - der Fall betrifft uns hier aber nicht.

Also gilt für die Tangentengleichung: y=x+b. b muß 2 sein, damit der Punkt (0|2) auf der Geraden liegt, also g(x)=x+2.

x=-4 ist einfach die untere Integrationsgrenze, die obere ist 0, weil f(x) und g(x) sich bei Punkt (0|2) schneiden.

Du mußt also das Integral von f(x)-g(x) bilden und in den Grenzen
von -4 bis 0 integrieren.

Also h(x)=e^x+1-x-2=e^x-x-1

Dann ist H(x)=e^x-x²/2-x

H(0)=1

H(-4)=e^-4-8+4=-3,982 (gerundet)

1-(-3,982)=4,982 Flächeneinheiten.

Ich lade Dir eine Skizze hoch.

Herzliche Grüße,

Willy

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f(x) = e ^ (x) + 1

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Punkt (0|2)

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt und dabei die gleiche Steigung wie die Kurve hat.

f´(x) = e ^ x

f´(0) = 1

T(x)  = m * x + b

b = T(x) - m * x

m = f´(0) = 1

T(0) = 2

b = 2 - 1 * 0 = 2

T(x) = x + 2

Wir haben außerdem die Gerade x = -4

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Die Grenzen verlaufen von -4 bis 0

f(x) liegt betragsmäßig im genannten Intervall über dem Betrag von T(x)

h(x) = f(x) - T(x)

H(x) = ∫ h(x) * dx

h(x) = e ^ (x) + 1 - (x + 2)

h(x) = e ^ (x) - x - 1

H(x) = ∫ h(x) * dx = ∫ (e ^ (x) - x - 1) * dx = e ^ x - (1 / 2) * x ^ 2 - x + C

C = 0

H(x) = e ^ x - (1 / 2) * x ^ 2 - x

A = Flächeninhalt

A = H(0) - H(-4)

H(0) = e ^ 0 - (1 / 2) * 0 ^ 2 - 0 = 1

H(-4) = e ^ (-4) - (1 / 2) * (-4) ^ 2 - (-4) = -3.9816843611112658197

 H(0) - H(-4) = 1 - (-3.9816843611112658197) = 4.9816843611112658197

A = 4.9816843611112658197

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skizze, tangentengl. im Punkt (0;2) aufstellen; Nullstelle von  tangente g berechnen

(-2) dann integrieren von -4 bis 0 mit (f-g)

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