Exakte Wahrscheinlichkeitsberechnung bei Stichproben ohne Zurücklegen?
Zur Prüfung von Batterien werden 100 Elemente geprüft. Dabei sind 5 Elemente defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in einer Stichprobe von 50 Elementen höchstens 2 defekte?
Muss man hier die hypergeormetrische oder die Binomialverteilung anwenden? Und was wäre die richtige Lösung?
Vielen Dank für eure Antworten!
3 Antworten
Dieser Test lässt sich mit einem Urnenmodell vergleichen. In einer Urne befinden sich 95 blaue und 5 gelbe (defekte) Kugeln.
Es werden 50 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 gelbe Kugeln zu ziehen. Die Zufallsvariable ist hypergeometrisch verteilt und das Ergebnis lautet p = 1/2.
Um stattdessen die Binomialverteilung als Annäherung zu verwenden, gilt die Faustregel n/N <= 0.05. Im konkreten Fall ist jedoch n = 50 und N = 100.
Die Aufgabe scheint mir für die Binomialverteilung konstruiert, wobei diese nur approximativ verwendbar ist, wie du in deinem Kommentar zur Antwort von aperfect10 auch festgestellt hast. Die Stichprobe ist hier gross genug, um eine Approximation zu rechtfertigen. Mit der Binomialverteilung komme ich auf 54%, mit der hypergeometrischen auf 47%.
Die Anzahl ist binomialverteilt (Anzahl der Erfolge bei n Versuchen).
Siehe hier.
Danke für deine Antwort. Ich frage mich nur warum die hypergrometrische Verteilung nicht richtig sein soll. Die hypergeometrische Verteilung beschreibt ja eine Stichprobe ohne Zurücklegen. Die WSK für ein defektes Bauelement ändert sich ja mit jeder Ziehung. Die Binomialverteilung setzt dagegen konstante Wahrscheinlichkeiten voraus. Oder ist das falsch?