e^(i*pi)?

ich hab mir das video von daniel jung angeguckt, ich verstehe so gut wie jeden schritt außer einen ganz bestimmten... unzwar, warum am ende ^n statt *n genommen wird... denn wir addieren doch die komplexe zahl auf sich selbst und multiplizieren sie nicht.. wenn doch warum multiplizieren wir diese? z=1+phi/n

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[mihisu]

ich hab mir das video von daniel jung angeguckt

Welches Video? Daniel Jung hat mehr als ein Video veröffentlicht. Sollen wir uns das selbst raussuchen, oder gibst du uns den Link?

[Niinbo]

upsi https://youtu.be/pEjyvE2HPp0?si=RUp1QxuKbXwphI6O
die gemeinte stelle ist 5:56

Answer 1

[mihisu]

Da werden sehr wohl komplexe Zahlen miteinander multipliziert.

Bei Multiplikation der komplexen Zahlen in Polarform addieren sich ihre Argumente (Winkel)...

$z_1=r_1\cdot \text{e}^{\text{i}\varphi_1},\ z_2=r_2\cdot \text{e}^{\text{i}\varphi_2}$

$\rightarrow\ z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2\cdot \text{e}^{\text{i}\left(\varphi_1+\varphi_2\right)}$

Und im konkreten Fall teilt man umgekehrt quasi erst einmal einen konkreten Winkel in n kleinere Winkel auf...

$\text{e}^{\text{i}\varphi}=\text{e}^{\text{i}\overbrace{\left(\frac{\varphi}{n}+\ldots+\frac{\varphi}{n}\right)}^{n\text{ Summanden}}}=\underbrace{\text{e}^{\text{i}\frac{\varphi}{n}}\cdot \ldots\cdot \text{e}^{\text{i}\frac{\varphi}{n}}}_{n\text{Faktoren}}=\ldots$

Dann nähert man (wie von Daniel im Video beschrieben) e^(iφ/n) durch 1+ iφ/n an. [Diese Näherung wird besser, je kleiner der Winkel φ/n ist. Wenn man also größere Zahlen n betrachtet, wird die Näherung besser.]

$\text{e}^{\text{i}\varphi}=\text{e}^{\text{i}\overbrace{\left(\frac{\varphi}{n}+\ldots+\frac{\varphi}{n}\right)}^{n\text{ Summanden}}}=\underbrace{\text{e}^{\text{i}\frac{\varphi}{n}}\cdot \ldots\cdot \text{e}^{\text{i}\frac{\varphi}{n}}}_{n\text{ Faktoren}}\approx \underbrace{\left(1+\frac{\text{i}\varphi}{n}\right)\cdot \ldots \left(1+\frac{\text{i}\varphi}{n}\right)}_{n\text{ Faktoren}}$

$=\left(1+\frac{\text{i}\varphi}{n}\right)^n$

Comments

[Niinbo]

wegen den Potenzgesetzen macht es zwar sinn.. aber wie veranschaulicht man das in einem koordinaten system?

[Niinbo]

außerdem verstehe ich nicht ganz wie man jz eigntl den winkel phi ausrechnet (ja mit cos und sin und tangens, aber die leute benutzen arctan also ankathete durch gegenkathete.. ich versteh immernoch nicht ganz, wann sin, cos eine seite des tangens ist (irgendwie wenn hypotenuse =1 ist)